Derivação implícita – Exercício 2

Expresse $$\frac{dy}{dx}$$ em termos de $$x$$ e $$y$$, em que $$y=f(x)$$ é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação

$$5y+cos(y)=xy$$.

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Solução:

Aplicamos a derivada sobre toda a expressão, de modo que

\[\frac{d}{dx}(5y+cos(y))=\frac{d}{dx}(xy) \Longrightarrow\]

\[(5y)’+(cos(y))’=(xy)’ (*).\]

Sobre a primeira parcela, $$(5y)’ = 5y’$$.

Sobre a segunda parcela temos de aplicar a regra da cadeia, sabendo que $$y$$ é uma função de $$x$$. Desse modo, pondo $$u=cos(y)$$, $$(cos(y))’=\frac{du}{dx}=\frac{du}{dy}\frac{dy}{dx}$$ e $$\frac{du}{dy} = \frac{d(cos(y))}{dy}=-sen(y)$$, o que implica

\[\frac{du}{dx}=-sen(y)\cdot y’.\]

Na última parcela, precisamos calcular a derivada pela regra do produto:

\[(xy)’=x’y+xy’ = y + xy’.\]

Substituindo tudo na expressão $$(*)$$, teremos

\[5y’-sen(y)y’=y+xy’\Longrightarrow\]

\[y'(5-sen(y)-x)=y.\]