Expresse $$\frac{dy}{dx}$$ em termos de $$x$$ e $$y$$, em que $$y=f(x)$$ é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação
$$x^{2}-y^{2}=4$$.
Mais exercícios de derivação implícita aqui!
Solução:
Aplicamos a derivada sobre toda a expressão, de modo que
\[\frac{d}{dx}(x^{2}-y^{2})=\frac{d}{dx}4 \Longrightarrow\]
\[(x^{2})’-(y^{2})=0 (*).\]
Sobre a primeira parcela, $$(x^{2})’ = 2x$$.
Sobre a segunda parcela temos de aplicar a regra da cadeia, sabendo que $$y$$ é uma função de $$x$$. Desse modo, pondo $$u=y^{2}$$, $$(y^{2})’=\frac{du}{dx}=\frac{du}{dy}\frac{dy}{dx}$$ e $$\frac{du}{dy} = 2y$$, o que implica $$\frac{du}{dx}=2y\cdot \frac{dy}{dx}$$. Substituindo na expressão $$(*)$$, teremos
\[2x-2yy’=0.\]
