Derivação implícita – Exercício 1

Expresse $$\frac{dy}{dx}$$ em termos de $$x$$ e $$y$$, em que $$y=f(x)$$ é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação

$$x^{2}-y^{2}=4$$.

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Solução:

Aplicamos a derivada sobre toda a expressão, de modo que

\[\frac{d}{dx}(x^{2}-y^{2})=\frac{d}{dx}4 \Longrightarrow\]

\[(x^{2})’-(y^{2})=0 (*).\]

Sobre a primeira parcela, $$(x^{2})’ = 2x$$.

Sobre a segunda parcela temos de aplicar a regra da cadeia, sabendo que $$y$$ é uma função de $$x$$. Desse modo, pondo $$u=y^{2}$$, $$(y^{2})’=\frac{du}{dx}=\frac{du}{dy}\frac{dy}{dx}$$ e $$\frac{du}{dy} = 2y$$, o que implica $$\frac{du}{dx}=2y\cdot \frac{dy}{dx}$$. Substituindo na expressão $$(*)$$, teremos

\[2x-2yy’=0.\]