Solução:

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Solução:

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Solução:

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Solução:

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Temos a nossa $$f(x)=x\cdot e^{x^{2}}=x\cdot e^{g(x)}$$. Nossa função auxiliar é $$u=g(x)=x^{2}$$.

Portanto já sabemos que $$\frac{du}{2x}=dx$$, pois adotamos os mesmos passos do Agora, basta aplicar na fórmula que vimos.

\[\int x\cdot e^{x^{2}}dx=\int x\cdot e^{u}\frac{du}{2x}=\int\frac{1}{2}e^{u}du=(1/2)e^{u}+K=(1/2)e^{x^{2}}+K\].

Mais exercícios resolvidos de integral por substituição

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Tudo sobre o Cálculo I

Resolver as integrais abaixo.

• $$\int cos(2x) dx$$. Solução.
• $$\int sen(5x) dx$$. Solução.
• $$\int tg(x) dx$$. Solução.
• $$\int (3x-2)^{3}dx$$. Solução.
• $$\int\frac{x}{x+1}dx$$. Solução.
• $$\int\frac{x+2}{x-1}dx$$.Solução.
• $$\int\frac{x^{2}}{x+1}dx$$. Solução.
• $$\int\frac{x}{(1+4x^{2})^{2}}dx$$. Solução.
• $$\int x\cdot e^{x^{2}}dx$$. Solução.
• $$\int\frac{cos(ln(x))}{x}dx$$. Solução.

• $$\int e^{x}\sqrt{1+e^{x}}dx$$. Solução.
• $$\int x\cdot sen(x^{2})dx$$. Solução.
• $$\int\frac{e^{x}}{1+3e^{x}}dx$$. Solução.

• $$\int sen^{3}(x)dx$$. Solução.
• $$\int cos(x)sen^{2}(x) dx$$. Solução.
• $$\int sen^{3}(x)cos^{2}(x) dx$$. Solução.
• $$\int \frac{sen(x)}{cos^{2}(x)}dx$$. Solução.
• $$\int tg^{3}(x)dx$$. Solução.
• $$\int sec^{2}(x)tg^{3}(x)dx$$. Solução.

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A primeira coisa é identificar a função $$g(x)$$ da teoria, ou seja, uma função de composição da função $$f$$, que estamos integrando. Veja que $$f(x)=x\cdot sen(x^{2})$$, então é natural pensar na seguinte composição:

\[f(x)=x\cdot sen(g(x))\], com $$g(x)=x^{2}$$.

Lembrando-nos de que precisamos chamar $$g(x)=u$$, a nossa nova variável, E precisamos calcular a relação entre $$du$$ e $$dx$$. Para isso, calculamos a derivada de $$u=g(x)$$.

\[du=g'(x)dx = (x^{2})’ dx =(2x) dx\longrightarrow du=(2x)dx\]

Agora, realizamos um pequeno “truque”, que é correto, do ponto de vista matemático, mas a notação parece ser um pouco ingrata. Queremos isolar o $$dx$$, para substituí-lo por algo com o $$du$$. Então passamos o (2x) “dividindo” o $$du$$ e deixamos o $$dx$$ isolado.

\[du=(2x)dx \Longrightarrow \frac{du}{2x}=dx\].

Esta igualdade é corretíssima, porém a ideia de “passar dividindo” é apenas uma analogia com frações. Na verdade, estamos aplicando o Teorema da Função Inversa para derivadas de funções reais. A função $$u=g(x)$$ é inversa da função $$x(u)$$.

E, pela fórmula (ou teorema) que vimos acima, podemos aplicar a seguinte igualdade

\[\int x\cdot sen(x^{2})dx = \int x\cdot sen(u)\cdot dx =\]

\[\int x\cdot sen(u) \frac{du}{2x}=\int \frac{sen(u)}{2}du=\]

\[(1/2)\int sen(u) du =-(1/2) cos(u) + K = K – (1/2)cos(x^{2})\].

Viram? Saímos de uma integral aparentemente complicada, para resolvermos uma integral bastante simples, do $$cos(u)$$.

Mais exercícios resolvidos de integral por substituição

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Solução:
Observe que $$\int tg(x) dx = \int \frac{sen(x)}{cos(x)}dx$$. Ao fazermos a mudança de variável $$u=cos(x)$$, temos $$du = -sen(x) dx$$, e

\[ \int \frac{sen(x)}{cos(x)}dx= \int \frac{sen(x)}{u\cdot (- sen(x))}du = -\int \frac{1}{u}du.\]

A última integral é igual a $$-Ln(u) + K$$, portanto

\[\int tg(x) dx = -Ln(cos(x)) + K.\]

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Temos a nossa função composta $$f(x)=x\cdot e^{x^{2}}=x\cdot e^{g(x)}$$. Nossa função auxiliar é $$u=g(x)=x^{2}$$, e já sabemos, pela Regra da Cadeia, que $$\frac{du}{2x}=dx$$.

Agora, basta aplicar na fórmula da substituição (ou integral de Função Composta):

\[\int x\cdot e^{x^{2}}dx=\int x\cdot e^{u}\frac{du}{2x}=\]

\[\int\frac{1}{2}e^{u}du=(1/2)e^{u}+K=\]

\[(1/2)e^{x^{2}}+K\].

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