Resposta: 26 meses.
Solução (no short abaixo):

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Solução no vídeo abaixo:

O post Juros Compostos na HP 12c – Exemplo apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

a) Usando a fórmula dos Juros Compostos, obtemos a taxa diária, pois

\[1300 = 1000\cdot (1+i)^{60}\Longrightarrow\]

\[(1+i)^{60}=1300/1000 = 1,3\Longrightarrow\]

\[i=\sqrt[60]{1,3}-1 = 0,004382 a.d.\]

Em percentual, temos 0,4382% ao dia.

A taxa mensal é obtida do mesmo modo, trocando apenas o tempo de 60 dias por 2 meses.

b) Basta trocarmos o tempo de 60 dias para 90 dias, então

\[i=\sqrt[90]{1,3}-1 = 0,002919 .\]

Em percentual, 0,2919% ao dia.

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Gabarito: d)
Solução (no vídeo abaixo):

O post Uma empresa tomou um empréstimo de R$ 50.000,00 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:
A taxa de juros $$i$$ produz, sobre o montante de R$ 10.000,00, um juro de $$10000i=100$$, então $$i=100/10000 = 0,01$$. Isso equivale a uma taxa de 1% ao mês.

Pode-se pensar no problema por meio da fórmula dos Juros Compostos, dada por $$J = C[(1+i)^{n}-1]$$. Dado que $$n=1$$ mês, $$J = R\$ 100,00$$ e $$C = R\$ 10.000,00$$, teremos

\[10.000[1+i-1]=100\Longrightarrow i = 100/10000 = 0,01.\]

O post Um banco fez um empréstimo de R$10.000,00 a um cliente apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Um cliente da loja decidiu comprar, de forma financiada, um produto cujo valor à vista é R$ 1.500,00. Utilize 5,29 como aproximação para √28. A taxa mensal de juros compostos praticada nesse financiamento é de

a) 6,7%
b) 10%
c) 20%
d) 21,5%
e) 23,3%

Solução:

i) O valor real da mercadoria será 20% maior. Pela fórmula do acréscimo percentual, teremos $$1,2\cdot 1500 = R\$ 1800$$. Dividindo por 3, teremos as parcelas iguais a $$1800/3 = R\$ 600$$. Dado que a primeira parcela é a entrada, o valor financiado será de $$1500-600 = R\$ 900,00$$, em duas parcelas mensais e iguais a R$ 600,00.

ii) Como os Juros incidem sobre a dívida que o cliente possui, após o primeiro mês tal dívida será de $$900\cdot (1+i) – 600$$, isto é: os juros calculados em um mês menos a parcela de R$ 600,00.

Ao final do segundo mês, a dívida anterior sofrerá novo acréscimo de juros, será subtraído o valor da outra parcela e o resultado será zero, uma vez que o financiamento termina ao final dos dois meses. Matematicamente, teremos $$[900(1+i)-600](1+i)-600 = 0$$.

A expressão se torna igual a $$900(1+i) – 600(1+i) – 600 = 0$$. Seja $$i$$ a nossa taxa de juros e seja $$p=(1+i)$$. Então podemos reescrever polinômio como $$900p^{2}-600p-600 = 0$$. Dividindo por 600, teremos a equação do segundo grau equivalente: $$1,5p^{2}-p-1=0$$.

iii) Por Bháskara, teremos as soluções: $$p=\frac{1\pm\sqrt{7}}{2\cdot 1,5} = \frac{1\pm\sqrt{7}}{3}$$. Escolhemos a raiz positiva, pois procuramos por uma taxa de juros positiva. Além disso, sabemos que $$\sqrt{28} = \sqrt{4\cdot 7} = 2\sqrt{7}$$, então a aproximação fornecida indica que $$\sqrt{7}=5,29/2 = 2,645$$.

Substituindo na expressão $$p$$, teremos $$p=\frac{1+2,645}{3}=1,215 = (1+i)$$, donde encontramos $$i=0,215 =$$ 21,5% ao mês.

O post Uma loja vende seus produtos de duas formas: à vista ou financiado apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

Usando a fórmula de Juros Compostos, teremos

\[82084,90 = 68700\cdot (1+i)^{8}\Longrightarrow\]

\[1+i = (\frac{82084,90}{68700})^{1/8}\cong 1,0225 \Longrightarrow \]

i = 2,25% ao mês.

O post Calcular a taxa mensal de juros de uma aplicação de $ 68.700,00 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) (1,10)¹¹ × 100
b) (1,01)¹¹ × 100
c) (1,10)¹² × 100
d) (1,01)¹² × 100
e) (1,01)¹⁴ × 100

Solução:
Usando o nosso conhecimento de Juros Compostos, basta notarmos que o valor inicial será $$V_{0}=100$$ e que a taxa de juros (reajuste) será $$i=1% = 0,01$$. Aplicando-se a fórmula de juros compostos, obtemos $$M=100\cdot (1+1%)^{t} = 100\cdot 1,01^{t}$$.

Como o reajuste é mensal, o tempo ($$t$$) será o número de meses, isto é: $$t=12$$. Logo $$M=100\cdot 1,01^{12}$$.

O post Função Exponencial – Exercício 4 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) R$ 20.000,00
b) R$ 22.000,00
c) R$ 24.000,00
d) R$ 26.000,00
e) R$ 28.000,00

Solução:
A fórmula dos Juros Compostos é dada por $$V_{final}=V_{inicial}\cdot (1+i)$$, em que $$i$$ é o percentual de juros. Se somarmos os capitais de João(x), Maria(y) e Antônia(z), teremos a equação $$x+y+z=100.000$$.

Após um ano de aplicação, cada u ficou com um capital de $$V_{inicial}(1+10%) = 1,1\cdot V_{inicial}$$. Então os três amigos ficaram, respectivamente, com $$1,1x, 1,1y$$ e $$1,1z$$. Após mais um ano de rentabilidade a 10%, cada amigo terá $$1,1\cdot V_{inicial}\cdot (1+10%) = 1,21\cdot V_{inicial}$$, logo os capitais de cada um são, respectivamente $$1,21x, 1,21y$$ e $$1,21z$$.

Ao final do primeiro ano, Antônia passou a ter R$ 11.000,00 + o dobro do capital atualizado de João, então ela obteve $$1,1z = 11.000 + 2,2x$$. Podemos reescrever essa equação deste modo: $$1,1z-2,2x = 11.000$$, então $$z-2x = 10.000$$.

Ao final do segundo ano, Antônia passou a ter a soma dos capitais atualizados de João e Maria, isto é: $$1,21z = 1,21x+1,21y$$, logo $$z=x+y$$. As equações do sistema são:

• x+y+z = 100.000
• z-2x=10.000
• z=x+y.

Substituindo ‘z’ nas duas primeira equações, obtemos $$2x+2y = 100.000$$ e $$y-x = 10.000$$. Se multiplicarmos a segunda dessas equações por (-2) e somarmos à primeira delas, obtemos

\[4x = 100.000 – 20.000 = 80.000.\]

Daqui, temos $$x=R\$ 20.000,00$$.

O post FUVEST – João, Maria e Antônia tinham, juntos, R$ 100.000,00 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) R$ 400,00
b) R$ 500,00
c) R$ 600,00
d) R$ 700,00
e) R$ 800,00

Solução:
Pelo acréscimo percentual, a casa passou a valer $$50.000\cdot (1,03)$$. O lucro bruto (sem descontarmos as despesas) de Bruno foi de $$50.000\cdot (1,03)-50.000 = 0,03\cdot 50.000 = R\$ 1500$$, isto é: o valor final da casa menos o valor inicial.

Agora, precisamos apenas descontar os juros devidos a Edson e a Carlos, não o valor todo devido por Bruno, já que o cálculo anterior realizou o desconto dos valores emprestados por Bruno.

Note que os juros devidos são 5% . 10000 + 4%.10000 = 500 + 400 = 900. Então o lucro líquido será de $$1500-900 = R\$ 600,00$$.

O post FUVEST 2009 – Q.71 (1ª Fase) apareceu primeiro em Educacional Plenus.