João, Maria e Antônia tinham, juntos, R$ 100.000,00. Cada um deles investiu sua parte por um ano, com juros de 10% ao ano. Depois de creditados seus juros no final desse ano, Antônia passou a ter R$ 11.000,00 mais o dobro do novo capital de João. No ano seguinte, os três reinvestiram seus capitais, ainda com juros de 10% ao ano. Depois de creditados os juros de cada um no final desse segundo ano, o novo capital de Antônia era igual à soma dos novos capitais de Maria e João. Qual era o capital inicial de João?
a) R$ 20.000,00
b) R$ 22.000,00
c) R$ 24.000,00
d) R$ 26.000,00
e) R$ 28.000,00
Solução:
A fórmula dos Juros Compostos é dada por $$V_{final}=V_{inicial}\cdot (1+i)$$, em que $$i$$ é o percentual de juros. Se somarmos os capitais de João(x), Maria(y) e Antônia(z), teremos a equação $$x+y+z=100.000$$.
Após um ano de aplicação, cada u ficou com um capital de $$V_{inicial}(1+10\%) = 1,1\cdot V_{inicial}$$. Então os três amigos ficaram, respectivamente, com $$1,1x, 1,1y$$ e $$1,1z$$. Após mais um ano de rentabilidade a 10%, cada amigo terá $$1,1\cdot V_{inicial}\cdot (1+10\%) = 1,21\cdot V_{inicial}$$, logo os capitais de cada um são, respectivamente $$1,21x, 1,21y$$ e $$1,21z$$.
Ao final do primeiro ano, Antônia passou a ter R$ 11.000,00 + o dobro do capital atualizado de João, então ela obteve $$1,1z = 11.000 + 2,2x$$. Podemos reescrever essa equação deste modo: $$1,1z-2,2x = 11.000$$, então $$z-2x = 10.000$$.
Ao final do segundo ano, Antônia passou a ter a soma dos capitais atualizados de João e Maria, isto é: $$1,21z = 1,21x+1,21y$$, logo $$z=x+y$$. As equações do sistema são:
- x+y+z = 100.000
- z-2x=10.000
- z=x+y.
Substituindo ‘z’ nas duas primeira equações, obtemos $$2x+2y = 100.000$$ e $$y-x = 10.000$$. Se multiplicarmos a segunda dessas equações por (-2) e somarmos à primeira delas, obtemos
\[4x = 100.000 – 20.000 = 80.000.\]
Daqui, temos $$x=R\$ 20.000,00$$.
