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Resposta: 5/3

Passo a Passo:

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Solução:

Adotamos a mudança de variável $$u(x)=\pi\cdot x$$, de modo a obtermos $$x = \frac{u}{\pi}$$. Observamos que $$u\to 0 \Longleftrightarrow x\to 0$$.

Reescrevemos a fração com a nova variável $$u$$, de modo a obtermos

\[\frac{tg(u)}{2\frac{u}{\pi}}=\frac{\pi}{2}\frac{tg(u)}{u}.\]

Sabemos que $$lim_{u\to 0}\frac{tg(u)}{u} = 1$$. Então, pelo teorema da mudança de variável, teremos

\[lim_{x\to 0}\frac{tg(\pi\cdot x)}{2x}=\frac{\pi}{2}\cdot lim_{u\to 0}\frac{tg(u)}{u} = \frac{\pi}{2}.\]

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1. Calcule os limites abaixo, justificando os passos adotados.

Sabendo que, para x∈[-1;1], $$\frac{sen(x)}{x}≤f(x)≤x^{2}+1$$, calcule $$lim_{x→0} ⁡f(x)$$. (Solução)

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Solução:

Sabendo que o limite fundamental trigonométrico é $$lim_{x\to 0}\frac{sen(x)}{x}=1$$, é útil escrever que $$\frac{tg(x)}{x}=\frac{sen(x)}{xcos(x)}=\frac{1}{cos(x)}\cdot\frac{sen(x)}{x}$$.

Observe que $$lim_{x\to 0}\frac{1}{cos(x)}=1/1 = 1$$, então podemos aplicar a regra da multiplicação de limites:

\[lim_{x\to 0}\frac{tg(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{cos(x)}\cdot\frac{sen(x)}{x}=\]

\[lim_{x\to 0}\frac{1}{cos(x)}\cdot lim_{x\to 0}\frac{sen(x)}{x}=1\cdot 1 = 1.\]

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$$\lim_{x\to p}\frac{sen(x)-sen(p)}{x-p}$$, para $$x\neq p$$.

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Solução:

Substituamos o quociente de modo a facilitar nossas contas, fazendo $$u=x-p$$ e $$x=u+p$$. Também usamos o seno da soma de arcos.

\[\frac{sen(x)-sen(p)}{x-p}=\frac{sen(u+p)-sen(p)}{u}=\]

\[\frac{sen(u)cos(p)+sen(p)[cos(u)-1]}{u}=cos(p)\frac{sen(u)}{u}+sen(p)\frac{cos(u)-1}{u}\]

Note que as duas expressões finais têm limite na variável $$u$$, portanto podemos escrever

\[\lim_{x\to p}\frac{sen(x)-sen(p)}{x-p}=\]

\[\lim_{u\to 0}cos(p)\frac{sen(u)}{u}+\lim_{u\to 0}sen(p)\frac{cos(u)-1}{u}\]

\[=cos(p)\cdot 1+sen(p)\cdot 0=cos(p).\]

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$$\lim_{x\to p}\frac{tg(x-p)}{x^{2}-p^{2}}$$ , $$p\neq 0$$.

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Solução:

Basta observar que

\[\frac{tg(x-p)}{x^{2}-p^{2}}=\frac{sen(x-p)}{x-p}\cdot\frac{1}{(x+p)cos(x-p)}\].

Como o limite das respectivas frações existe (ver exercício anterior) e é diferente de zero, quando $$x\to p$$, podemos escrever assim:

\[\lim_{x\to p}\frac{tg(x-p)}{x^{2}-p^{2}}=\]

\[\lim_{x\to p}\frac{sen(x-p)}{x-p}\cdot\lim_{x\to p}\frac{1}{(x+p)cos(x-p)}=\]

\[1\cdot\frac{1}{\lim_{x\to p}(x+p)cos(x-p)}=1\cdot 1/2p = 1/2p .\]

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$$\lim_{x\to p}\frac{sen(x-p)}{x-p}$$ , $$p\neq 0$$.

Solução:

Note que, impondo $$u=x-p$$, temos $$\lim_{x\to p}u(x)=0$$. Aplicaremos o Teorema de Limites para Funções Compostas.

\[\lim_{x\to p}\frac{sen(x-p)}{x-p}=\lim_{x\to p}\frac{sen(u)}{u}=\lim_{u\to 0}\frac{sen(u)}{u}=1.\]

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$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{sen(x)}$$.

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Solução:

Observe que $$\frac{x}{sen(x)}=\frac{1}{\frac{x}{sen(x)}}$$. Além disso, o numerador e o denominador da última expressão possuem limites em $$0$$, portanto existirá o limite a seguir, de modo que

\[\lim_{x\to 0}\frac{x}{sen(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\frac{sen(x)}{x}}=\frac{1}{\lim_{x\to 0}\frac{sen(x)}{x}}=1/1=1\]

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