Cálculo I
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Limites – Exercício 18

Calcule o limite, se existir, e justifique.

$$\lim_{x\to p}\frac{sen(x)-sen(p)}{x-p}$$, para $$x\neq p$$.

Lista de Exercícios Resolvidos sobre Limites, acesse aqui!



Solução:

Substituamos o quociente de modo a facilitar nossas contas, fazendo $$u=x-p$$ e $$x=u+p$$. Também usamos o seno da soma de arcos.

\[\frac{sen(x)-sen(p)}{x-p}=\frac{sen(u+p)-sen(p)}{u}=\]

\[\frac{sen(u)cos(p)+sen(p)[cos(u)-1]}{u}=cos(p)\frac{sen(u)}{u}+sen(p)\frac{cos(u)-1}{u}\]

Note que as duas expressões finais têm limite na variável $$u$$, portanto podemos escrever

\[\lim_{x\to p}\frac{sen(x)-sen(p)}{x-p}=\]

\[\lim_{u\to 0}cos(p)\frac{sen(u)}{u}+\lim_{u\to 0}sen(p)\frac{cos(u)-1}{u}\]

\[=cos(p)\cdot 1+sen(p)\cdot 0=cos(p).\]

Tags: Limites, Limites Trigonométricos

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