Calcule o limite, se existir, e justifique.
$$\lim_{x\to p}\frac{sen(x)-sen(p)}{x-p}$$, para $$x\neq p$$.
Lista de Exercícios Resolvidos sobre Limites, acesse aqui!
Solução:
Substituamos o quociente de modo a facilitar nossas contas, fazendo $$u=x-p$$ e $$x=u+p$$. Também usamos o seno da soma de arcos.
\[\frac{sen(x)-sen(p)}{x-p}=\frac{sen(u+p)-sen(p)}{u}=\]
\[\frac{sen(u)cos(p)+sen(p)[cos(u)-1]}{u}=cos(p)\frac{sen(u)}{u}+sen(p)\frac{cos(u)-1}{u}\]
Note que as duas expressões finais têm limite na variável $$u$$, portanto podemos escrever
\[\lim_{x\to p}\frac{sen(x)-sen(p)}{x-p}=\]
\[\lim_{u\to 0}cos(p)\frac{sen(u)}{u}+\lim_{u\to 0}sen(p)\frac{cos(u)-1}{u}\]
\[=cos(p)\cdot 1+sen(p)\cdot 0=cos(p).\]
