Calcule o limite, se existir, e justifique.
$$\lim_{x\to p}\frac{tg(x-p)}{x^{2}-p^{2}}$$ , $$p\neq 0$$.
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Solução:
Basta observar que
\[\frac{tg(x-p)}{x^{2}-p^{2}}=\frac{sen(x-p)}{x-p}\cdot\frac{1}{(x+p)cos(x-p)}\].
Como o limite das respectivas frações existe (ver exercício anterior) e é diferente de zero, quando $$x\to p$$, podemos escrever assim:
\[\lim_{x\to p}\frac{tg(x-p)}{x^{2}-p^{2}}=\]
\[\lim_{x\to p}\frac{sen(x-p)}{x-p}\cdot\lim_{x\to p}\frac{1}{(x+p)cos(x-p)}=\]
\[1\cdot\frac{1}{\lim_{x\to p}(x+p)cos(x-p)}=1\cdot 1/2p = 1/2p .\]
Não seria 1/2p ? lim x->p ( (x + p) cos (x – p) ), substituindo, ( (p + p) cos (p – p) ) = ( 2p cos 0 ) = 2p. Portanto 1 / 2p na equação inteira.