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$$lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}=0$$.

Solução (no vídeo abaixo):

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Solução:

Adotamos a mudança de variável $$u(x)=\pi\cdot x$$, de modo a obtermos $$x = \frac{u}{\pi}$$. Observamos que $$u\to 0 \Longleftrightarrow x\to 0$$.

Reescrevemos a fração com a nova variável $$u$$, de modo a obtermos

\[\frac{tg(u)}{2\frac{u}{\pi}}=\frac{\pi}{2}\frac{tg(u)}{u}.\]

Sabemos que $$lim_{u\to 0}\frac{tg(u)}{u} = 1$$. Então, pelo teorema da mudança de variável, teremos

\[lim_{x\to 0}\frac{tg(\pi\cdot x)}{2x}=\frac{\pi}{2}\cdot lim_{u\to 0}\frac{tg(u)}{u} = \frac{\pi}{2}.\]

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Solução:

Por hipótese do limite da $$f$$, dado $$\epsilon>0$$, existe $$\delta>0$$ tal que, se $$|x-p|<\delta$$, então $$|f(x)-a|<\epsilon$$. Por hipótese da continuidade da $$g$$, para qualquer $$\lambda>0$$, existe $$\gamma>0$$ tal que, se $$|y-a|<\gamma$$, então $$|g(y)-g(a)|<\lambda$$.

Como a primeira sentença é válida para todo ε>0, valerá, em particular, para $$\epsilon = \gamma$$, sendo γ>0 um número que existe em função de λ>0. Pela concatenação lógica das duas sentenças, e observando que $$y$$ pode ser igual a $$f(x)$$, teremos que:

dado λ>0, existem γ,δ>0 tais que:

• se $$|x-p|<\delta$$, então $$|f(x)-a|<\gamma$$;
• se $$|f(x)-a|<\gamma$$, então $$|g(f(x))-g(a)|<\lambda$$;
• portanto, se $$|x-p|<\delta$$, temos $$|g(f(x))-g(a)|<\lambda$$.

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1. Calcule os limites abaixo, justificando os passos adotados.

Sabendo que, para x∈[-1;1], $$\frac{sen(x)}{x}≤f(x)≤x^{2}+1$$, calcule $$lim_{x→0} ⁡f(x)$$. (Solução)

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Resposta: ∞
Solução (no vídeo abaixo):

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Resposta: $$0$$.
Solução (no vídeo abaixo):

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Resposta: $$Ln 5$$.
Solução (no vídeo abaixo):

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Resposta: $$=\frac{1}{2}$$.

Solução (no vídeo abaixo):

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Resposta: $$=1$$.
Solução (no vídeo abaixo):

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