\[VF = VP\cdot (1+i)^{n}.\]

O conceito do VP pode ser estendido a séries de pagamento.

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Definição: Uma série de pagamentos (ou anuidades) são as operações financeiras, depósitos ou retiradas, que ocorrem em um fluxo de caixa sob regime dos Juros Compostos e que afetam o saldo final de tal fluxo, de acordo com a taxa de juros vigente e com as datas dos depósitos.

Observe a figura abaixo.

O diagrama representa um fluxo de caixa com um valor presente (VP) e quatro depósitos  (PGTO), que resultam no valor futuro (VF).

O VP desempenha papel fundamental como ferramenta comparativa de séries de pagamentos (empréstimos, investimentos, planos de pagamento, etc.). A forma mais utilizada para realizar a comparação de fluxos de caixa é trazer todas as prestações ao início do fluxo, ao tempo igual a zero.

De acordo com a fórmula vista nos Juros Compostos, cada parcela, que pode ser igual ou diferente das outras, tem um valor presente dado pela taxa de juros e pelo tempo em que foram depositadas, contado a partir do tempo zero do fluxo de caixa.

No caso do fluxo da figura, podemos imaginar, por exemplo, uma taxa de juros mensal $$i$$, com pagamentos $$PGTO_{k}$$, ocorrendo no mês $$t_{k}$$, contado a partir do início do fluxo de caixa. Assim, cada parcela é trazida ao presente pela fórmula

\[VP_{k}=\frac{PGTO_{k}}{(1+i)^{t_{k}}}.\]

E o Valor Presente total da série é a soma dos $$VP_{k}$$:

\[VP = \sum^{s}_{k=1} VP_{k}.\]

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Observando o fluxo de caixa acima, podemos modelar matematicamente a remuneração a juros compostos. Abaixo, apresentam-se os saldos ao final de cada mês.

1º mês: $$VP(1+i) + PGTO$$
2º mês: $$[VP(1+i)+PGTO](1+i) + PGTO$$…

No mês de índice $$k$$, teremos um saldo de

\[VP(1+i)^{k}+PGTO(1+i)^{k-1}+…+PGTO(1+i)+PGTO.\]

Com $$n$$ pagamentos ou retiradas, o saldo bancário corresponde ao valor futuro (VF) e será dado pela expressão

\[VF = \]

\[VP(1+i)^{n}+PGTO(1+i)^{n-1}+…+PGTO(1+i)+PGTO.\]

Podemos reescrever a fórmula assim:

\[VF-VP(1+i)^{n}=\]

\[PGTO\cdot [(1+i)^{(n-1)}+…+(1+i)+1].\]

O termo $$(1+i)^{(n-1)}+…+(1+i)+1$$ é a soma de Progressão Geométrica cujo primeiro termo é 1 e cuja razão é $$1+i$$. Usando a fórmula da PG, teremos

\[VF-VP(1+i)^{n} = PGTO\cdot \frac{(1+i)^{n}-1}{i}.\]

Daqui,

\[PGTO = \frac{VF\cdot i}{(1+i)^{n}-1}-\frac{VP\cdot i\cdot (1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}.\]

Em muitas aplicações, tem-se $$VP=0$$, o que resulta na fórmula

\[PGTO =\frac{VF\cdot i}{(1+i)^{n}-1}. \]

Equivalentemente, temos

\[VF = PGTO\cdot\frac{(1+i)^{n}-1}{i}.\]

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Solução:

Cada parcela terá um valor $$x$$, então o preço total da mercadoria, no instante imediatamente anterior à compra, é de $$4x$$. Do ponto de vista da loja,  é preciso calcular de um fluxo de caixa que fornecerá 4 remunerações iguais a uma taxa de 1,4% (=0,014). Tal valor é o preço de venda do produto.

Calculando o  valor presente da série de pagamentos, que é uniforme — ocorrem sempre no mesmo período e sob a mesma taxa –, teremos o valor real de venda da mercadoria. Neste caso,

\[PV =\]

\[x\cdot [\frac{1}{1+0,014}+\frac{1}{(1+0,014)^{2}}+\frac{1}{(1+0,014)^{3}}+\frac{1}{(1+0,014)^{4}}]\]

\[=3,86x.\]

Em outras palavras, o preço de venda deve ser o valor das parcelas multiplicado por 3,86. Para atrair a clientela, a loja informa que realiza a venda em quatro vezes iguais sem juros, de modo que o preço do produto imediatamente antes da venda é de $$4x$$.

Daqui, basta usarmos a fórmula de acréscimo percentual para obter a taxa. De fato,

$$4x = 3,86x(1+i)\Longrightarrow i = \frac{4}{3,86}-1=$$3,524%.

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