Um fluxo de caixa uniforme significa que os depósitos ou retiradas ocorrem sempre na mesma periodicidade. Quando as prestações (PGTO) são iguais, pode-se obter uma fórmula para o seu cálculo, tendo como base os parâmetros da taxa de juros (i), do número de pagamentos ou retiradas (n), do valor inicial ou presente (VP) e do valor futuro (VF). Neste artigo, trabalhamos com a forma de pagamento postecipado, que significa ser o pagamento ao final do período de capitalização (mês, ano, … ).
Observando o fluxo de caixa acima, podemos modelar matematicamente a remuneração a juros compostos. Abaixo, apresentam-se os saldos ao final de cada mês.
1º mês: $$VP(1+i) + PGTO$$
2º mês: $$[VP(1+i)+PGTO](1+i) + PGTO$$…
No mês de índice $$k$$, teremos um saldo de
\[VP(1+i)^{k}+PGTO(1+i)^{k-1}+…+PGTO(1+i)+PGTO.\]
Com $$n$$ pagamentos ou retiradas, o saldo bancário corresponde ao valor futuro (VF) e será dado pela expressão
\[VF = \]
\[VP(1+i)^{n}+PGTO(1+i)^{n-1}+…+PGTO(1+i)+PGTO.\]
Podemos reescrever a fórmula assim:
\[VF-VP(1+i)^{n}=\]
\[PGTO\cdot [(1+i)^{(n-1)}+…+(1+i)+1].\]
O termo $$(1+i)^{(n-1)}+…+(1+i)+1$$ é a soma de Progressão Geométrica cujo primeiro termo é 1 e cuja razão é $$1+i$$. Usando a fórmula da PG, teremos
\[VF-VP(1+i)^{n} = PGTO\cdot \frac{(1+i)^{n}-1}{i}.\]
Daqui,
\[PGTO = \frac{VF\cdot i}{(1+i)^{n}-1}-\frac{VP\cdot i\cdot (1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}.\]
Em muitas aplicações, tem-se $$VP=0$$, o que resulta na fórmula
\[PGTO =\frac{VF\cdot i}{(1+i)^{n}-1}. \]
Equivalentemente, temos
\[VF = PGTO\cdot\frac{(1+i)^{n}-1}{i}.\]
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