Cálculo ISequências e Progressões
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Demonstração da Soma de uma PG

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A soma dos $$n$$ primeiros termos de uma progressão geométrica dada por $$a_{n}=a_{1}q^{n-1}$$ é

\[S_{n}=a_{1}\frac{q^{n}-1}{q-1}.\]

Demonstração:

Observamos que

\[S_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n} =\]

\[a_{1}+a_{1}q+…+a_{1}^{n-1}=a_{1}[1+q+…+q^{n-1}].\]

Multiplicando toda a expressão $$S_{n}=a_{1}[1+…+q^{n-1}]$$ por $$q$$, obtemos

\[qS_{n}=a_{1}[q+q^{2}+…+q^{n-1}+q^{n}].\]

Agora, observamos que $$(q-1)S_{n}=qS_{n}-S_{n}=$$

\[a_{1}[q+…+q^{n}]-a_{1}[1+…+q^{n-1}]= a_{1}[-1 + q^{n}].\]

Daqui, temos

\[(q-1)S_{n}=a_{1}[q^{n}-1]\Longrightarrow\]

\[S_{n}=a_{1}\frac{q^{n}-1}{q-1}.\]

O caso da Soma Infinita.

Se $$0<q<1$$, existe $$lim_{n\to\infty}S_{n}$$. Com efeito,

\[lim_{n\to\infty}a_{0}\frac{q^{n}-1}{q-1} = \frac{a_{1}}{q-1}=S_{\infty}.\]

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