A soma dos $$n$$ primeiros termos de uma progressão geométrica dada por $$a_{n}=a_{1}q^{n-1}$$ é
\[S_{n}=a_{1}\frac{q^{n}-1}{q-1}.\]
Demonstração:
Observamos que
\[S_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n} =\]
\[a_{1}+a_{1}q+…+a_{1}^{n-1}=a_{1}[1+q+…+q^{n-1}].\]
Multiplicando toda a expressão $$S_{n}=a_{1}[1+…+q^{n-1}]$$ por $$q$$, obtemos
\[qS_{n}=a_{1}[q+q^{2}+…+q^{n-1}+q^{n}].\]
Agora, observamos que $$(q-1)S_{n}=qS_{n}-S_{n}=$$
\[a_{1}[q+…+q^{n}]-a_{1}[1+…+q^{n-1}]= a_{1}[-1 + q^{n}].\]
Daqui, temos
\[(q-1)S_{n}=a_{1}[q^{n}-1]\Longrightarrow\]
\[S_{n}=a_{1}\frac{q^{n}-1}{q-1}.\]
O caso da Soma Infinita.
Se $$0<q<1$$, existe $$lim_{n\to\infty}S_{n}$$. Com efeito,
\[lim_{n\to\infty}a_{1}\frac{q^{n}-1}{q-1} = \frac{a_{1}}{1-q}=S_{\infty}.\]
