No artigo anterior, vimos a definição do Valor Presente para uma série qualquer de pagamentos. Agora, detemo-nos em um caso especial: as séries uniformes. Tais séries de pagamento ocorrem sempre com o mesmo valor para $$PGTO$$, seja de depósito ou de retirada, e os períodos entre os depósitos são sempre iguais, partindo o tempo zero do fluxo de caixa.
Da fórmula exibida no artigo anterior, temos
\[VP=\sum_{k=1}^{n}\frac{PGTO_{k}}{(1+i)^{t_{k}}}.\]
Como a série é uniforme, temos $$PGTO_{k}=PGTO$$ e $$t_{k}=k$$, para $$k\in\{1,2,…,n\}$$, ou seja: as parcelas são iguais e são executadas sempre em períodos constantes. Assim, a fórmula acima é simplificada para
\[VP=PGTO\cdot(\frac{1}{(1+i)}+….+\frac{1}{(1+i)^{n}}.\]
A soma de frações corresponde à soma de uma progressão geométrica com termo $$a_{1}=(1+i)^{-1}$$ e razão $$q=(1+i)^{-1}$$. Com a fórmula da soma da P.G, obtemos a relação
\[\frac{1}{(1+i)}+….+\frac{1}{(1+i)^{k}} =\]
\[ (1+i)^{-1}\cdot\frac{(1+i)^{-n}-1}{(1+i)^{-1}-1}.\]
O soma de fatores do denominador torna-se $$-i(1+i)^{-1}$$. Se multiplicarmos numerador e denominador por $$-(1+i)^{n}$$, teremos, finalmente,
\[PV=PGTO\cdot\frac{(1+i)^{n}-1}{i(1+i)^{n}}.\]
Exemplo:
Qual é o valor presente de uma série de três pagamentos mensais de R$ 300,00, a uma taxa de 2% ao mês?
Solução:
- $$PGTO = R\$ 300,00$$,
- $$i=0,02$$,
- $$n=3$$.
Utilizando a fórmula, temos
\[PV=300\cdot \frac{(1,02)^{3}-1}{0,02\cdot (1,02)^{3}}= R\$ 865,16.\]
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