Uma loja vende seus produtos de duas formas: à vista ou financiado em três parcelas mensais iguais. Para definir o valor dessas parcelas nas vendas financiadas, a loja aumenta em 20% o valor do produto à vista e divide esse novo valor por 3. A primeira parcela deve ser paga no ato da compra, e as duas últimas, em 30 e 60 dias após a compra.
Um cliente da loja decidiu comprar, de forma financiada, um produto cujo valor à vista é R$ 1.500,00. Utilize 5,29 como aproximação para √28. A taxa mensal de juros compostos praticada nesse financiamento é de
a) 6,7%
b) 10%
c) 20%
d) 21,5%
e) 23,3%
Solução:
i) O valor real da mercadoria será 20% maior. Pela fórmula do acréscimo percentual, teremos $$1,2\cdot 1500 = R\$ 1800$$. Dividindo por 3, teremos as parcelas iguais a $$1800/3 = R\$ 600$$. Dado que a primeira parcela é a entrada, o valor financiado será de $$1500-600 = R\$ 900,00$$, em duas parcelas mensais e iguais a R$ 600,00.
ii) Como os Juros incidem sobre a dívida que o cliente possui, após o primeiro mês tal dívida será de $$900\cdot (1+i) – 600$$, isto é: os juros calculados em um mês menos a parcela de R$ 600,00.
Ao final do segundo mês, a dívida anterior sofrerá novo acréscimo de juros, será subtraído o valor da outra parcela e o resultado será zero, uma vez que o financiamento termina ao final dos dois meses. Matematicamente, teremos $$[900(1+i)-600](1+i)-600 = 0$$.
A expressão se torna igual a $$900(1+i) – 600(1+i) – 600 = 0$$. Seja $$i$$ a nossa taxa de juros e seja $$p=(1+i)$$. Então podemos reescrever polinômio como $$900p^{2}-600p-600 = 0$$. Dividindo por 600, teremos a equação do segundo grau equivalente: $$1,5p^{2}-p-1=0$$.
iii) Por Bháskara, teremos as soluções: $$p=\frac{1\pm\sqrt{7}}{2\cdot 1,5} = \frac{1\pm\sqrt{7}}{3}$$. Escolhemos a raiz positiva, pois procuramos por uma taxa de juros positiva. Além disso, sabemos que $$\sqrt{28} = \sqrt{4\cdot 7} = 2\sqrt{7}$$, então a aproximação fornecida indica que $$\sqrt{7}=5,29/2 = 2,645$$.
Substituindo na expressão $$p$$, teremos $$p=\frac{1+2,645}{3}=1,215 = (1+i)$$, donde encontramos $$i=0,215 =$$ 21,5% ao mês.
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