Variação Total de Receita e Lucro – Exercício 1

Na comercialização, em reais, de um certo produto, a receita marginal é dada por R'(q) = -10q + 100 e o custo marginal é dado por C'(q) = 2,5q. Para o intervalo 2 ≤ q ≤ 8, obtenha:

a) A variação total da receita.
b) A variação total do custo.
c) A variação total do lucro.
d) A interpretação gráfica da variação total do lucro obtida no item anterior.

Solução:

a) Calculamos a variação total da receita ao calcularmos a integral definida da receita marginal no intervalo requerido. Assim,

$$VTR={\int }_2^8{R}^{\prime }(q)dq=$$

$${\int }_2^8(-10q+100)dq={|}_2^8(-\frac{10q^2}{2}+100q)=$$

$$(-\frac{640}{2}+800)-(-\frac{40}{2}-200)=R\mathrm{\$}300.$$

b) A variação total do custo é também dada pela integral definida:

$$VTC={\int }_2^8{C}^{\prime }(q)dq=$$

$${\int }_2^8(2,5q)dq={|}_2^8(\frac{2,5q^2}{2})=$$

$$80-5=R\mathrm{\$}75.$$

c) Sabemos que o Lucro marginal é $$R^{\prime }(q)–C^{\prime }(q)$$. Não precisamos integrar novamente, pois já temos os valores das integrais da receita e do lucro marginais, logo $$VTL=300–75=R\$225,00$$.

e) A área do triângulo compreendido entre as duas curvas é igual, em unidades de área, ao valor encontrado no item anterior.