Visando atrair mais clientes, o gerente de uma loja anunciou uma promoção em que cada cliente que realizar uma compra pode ganhar um voucher para ser usado em sua próxima compra. Para ganhar seu voucher, o cliente precisa retirar, ao acaso, uma bolinha de dentro de cada uma das duas urnas A e B disponibilizadas pelo gerente, nas quais há apenas bolinhas pretas e brancas.
Atualmente, a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bolinha preta na urna A é igual a 20% e a probabilidade de se escolher uma bolinha preta na urna B é 25%. Ganha o voucher o cliente que retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna. Com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a promoção ser viável aos negócios, era preciso alterar a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B de forma que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou igual a 1%. Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas e que, em ambas as urnas, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas.
Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B?
a) 20
b) 60
c) 64
d) 68
e) 80
Solução:
i) A probabilidade de retirar-se uma bolinha preta da urna A é $$p_{A}=0,2$$; a probabilidade em B é $$p_{B}=0,25$$. A probabilidade de que o cliente vença (retire duas bolinhas pretas) é $$p{A}\cdot p_{B}$$.
Dado que o gerente deseja que essa probabilidade seja inferior a 1%, a expressão torna-se $$p_{A}\cdot p_{B}\leq 0,01$$, então $$p_{B}=\frac{0,01}{0,2}\leq 0,05$$.
ii) Originalmente, a probabilidade de retirar-se uma bolinha preta é 0,25, então, se $$T$$ é o total de bolinhas na urna, a relação é $$\frac{4}{T}=0,25$$, então $$T=4/0,25 = 16$$. Se adicionarmos $$x$$ bolinhas brancas de modo que $$p(B)\leq 0,05$$, obtemos a expressão
\[\frac{4}{16+x}\leq 0,05 \Longrightarrow 4\leq 0,8 + 0,05x \Longrightarrow\]
\[0,05x \geq 3,2 \Longrightarrow x \geq \frac{3,2}{0,05} = 64.\]
O mínimo é de 64 bolinhas brancas.
0 comentários