Exercício
Dada uma sequência de pontos, $$(x_{1},…,x_{n})$$, num espaço métrico $$(S,d)$$, prove que $$d(x_{1},x_{n})\leq d(x_{1},x_{2})+…+d(x_{n-1},x_{n})$$.
Solução:
Provemos que a desigualdade é válida para $$n=4$$, com a Desigualdade Triangular.
Com efeito, sabemos que:
$$d(x_{1},x_{4})\leq d(x_{1},x_{2})+d(x_{2},x_{4})$$;
$$d(x_{2},x_{4})\leq d(x_{2},x_{3})+d(x_{3},x_{4})$$.
Substituindo a segunda desigualdade na primeira, obtemos a expressão a seguir:
\[d(x_{1},x_{4})\leq d(x_{1},x_{2})+d(x_{2},x_{4})\leq d(x_{1},x_{2})+d(x_{2},x_{3})+d(x_{3},x_{4})\].
A desigualdade fica provada.
Assumindo, por hipótese de indução, que é válida a afirmação do enunciado, provemos que é válida para $$n+1$$.
Substituiremos a expressão do enunciado na expressão $$d(x_{1},x_{n+1})\leq d(x_{1},x_{n})+d(x_{n},x_{n+1})$$.
\[d(x_{1},x_{n+1})\leq d(x_{1},x_{n})+d(x_{n},x_{n+1})\leq \sum^{n}_{i=2}d(x_{i-1},x_{i})+d(x_{n},x_{n=1})=\sum^{n+1}_{i=2}d(x_{i-1},x_{i}) \]
Referência:
Kreyszig – Introductory Functional Analysis with Applications
