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  • Análise Matemática, Ensino Superior, Matemática

    Análise Matemática – Continuidade de funções (exercício 1)

    Seja $$f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$$ contínua. Prove que, se $$f(x)=0$$, para todo $$x\in X$$, é certo que $$f(x)=0$$, para todo $$x\in\bar{X}$$. Solução: Seja $$x\in\bar{X}$$, e seja $$f(x)=c$$. Por...

    6 anos atrás6 anos atrás
  • Álgebra, Álgebra Linear, Análise Matemática, Ensino Superior, Matemática

    Álgebra Linear – Norma de Matriz – Exercício 1

    Definição Definição de Norma vetorial \[||v||_{p}=(\sum^{n}_{i=1} |v_{i}|^{p})^{1/p}\]. Definição de Norma matricial \[||A||_{p}=\underset{||x||_{p}\neq 0}{sup}\frac{||Ax||_{p}}{||x||_{p}}\] Exercício Demonstre as propriedades da norma p, para matrizes $$A\in\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$$, $$B\in\mathbb{M}_{n\times...

    6 anos atrás6 anos atrás
  • Análise Matemática, Ensino Superior, Matemática

    Introdução à Análise Funcional – Espaço de Hilbert (exercício 3)

    Questão Mostre que, para uma sequência $$(x_{n})$$, em um espaço vetorial munido de produto interno, se $$||x_{n}||\longrightarrow ||x||$$ e $$<x_{n},x>\longrightarrow <x,x>$$, é válida a convergência...

    7 anos atrás7 anos atrás
  • Análise Matemática, Ensino Superior, Matemática

    Introdução à Análise Funcional – Teorema de Banach-Steinhaus (exercício 1)

    Sejam E espaço de Banach, F espaço normado e $$T_{n}$$ ∈ $$\mathcal{L}(E, F)$$, tal que $$T_{n}(x)$$ é Cauchy em F para todo x ∈ E....

    7 anos atrás7 anos atrás
  • Análise Matemática, Ensino Superior, Matemática

    Introdução à Análise Funcional – Espaços Métricos (exercício 2)

    Exercício Seja $$d: M\times M\longrightarrow \mathbb{R}$$ uma função tal que $$d(x,y)=0 \Longleftrightarrow x=y$$ e $$d(x,z)\leq d(x,y)+d(z,y)$$. Prove que $$d$$ é uma métrica. Solução: a) Provaremos...

    7 anos atrás7 anos atrás
  • Análise Matemática, Ensino Superior, Matemática

    Introdução à Análise Funcional – Espaços Métricos (exercício 1)

    Exercício Dada uma sequência de pontos, $$(x_{1},…,x_{n})$$, num espaço métrico $$(S,d)$$, prove que $$d(x_{1},x_{n})\leq d(x_{1},x_{2})+…+d(x_{n-1},x_{n})$$. Solução: Provemos que a desigualdade é válida para $$n=4$$, com...

    7 anos atrás7 anos atrás
  • Análise Matemática, Ensino Superior, Matemática

    Análise Matemática – Topologia da Reta – Conjuntos Fechados

    Questão Prove que, para todo $$X\in\mathbb{R}$$, vale $$\overline{X}=X\cup \partial(X)$$. Conclua que $$X$$ é fechado se, e somente se, $$X\supset \partial(X)$$. Solução: Se $$x\in X$$, então...

    8 anos atrás8 anos atrás
  • Análise Matemática, Ensino Superior, Matemática

    Análise Matemática – Topologia da Reta – Conjuntos Abertos

    Observação (notação para a vizinhança de um ponto): $$V_{(\delta)}(x)=\{p\in\mathbb{R}; |x-p|<\delta\}$$. Questão Prove que, para todo $$X\subset\mathbb{R}$$, tem-se $$int(int(X))=int(X)$$ e conclua que $$int(X)$$ é um conjunto...

    8 anos atrás8 anos atrás
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