Resolução – PUC – Campinas 2016 – Matemática

Questão 26

“…tudo teria começado com a haste vertical ao sol, que projetava sua sombra num plano horizontal demarcado.” Com um ângulo de inclinação de 30°, em relação ao solo plano, os raios solares incidindo sobre uma haste vertical de 2,5 m de comprimento geram uma sombra de x m. Um pouco mais tarde, quando o ângulo de inclinação dos raios solares é de 45° graus, a mesma sombra gerada agora é de y m. A diferença ente x e y é de, aproximadamente,

a) 1 m.

b) 1,83 m.

c) 2,45 m.

d) 0,88 m.

e) 2,27 m.

Dados:

sen 30° = 0,5          cos 30°= 0,866          tg 30° = 0,577

sen 45° = 0,707          cos 45°= 0,707          tg 45° = 1

Solução:

Considere que $$h=2,5m$$.

Do primeiro triângulo, temos a equação

\[\frac{\sqrt{3}}{3}=tg(30^{\circ})=\frac{2,5}{x}\Longrightarrow 2,5\cdot 3 = x\sqrt{3}\Longrightarrow x=\frac{7,5}{\sqrt{3}}=\frac{7,5\sqrt{3}}{3}=2,5\sqrt{3}\].

 

Do segundo triângulo, temos a equação

\[1=tg(45^{\circ})=\frac{2,5}{y}\Longrightarrow y=2,5\].

Portanto $$x-y=2,5\sqrt{3}-2,5=2,5(\sqrt{3}-1)\cong 1,83$$.

Resposta: b)

Questão 37

“As notas combinam-se, ritmam e produzem melodias, adensando as horas com seu envolvimento.” Imagine que as horas se adensaram de tal maneira que fizeram o dia ficar mais curto. Ao invés de 24 horas, agora o dia possui apenas 16 horas. Para não causar tanta confusão, esse novo tamanho do dia será dividido igualmente em 24 ‘huras’ e cada ‘hura’ dividida igualmente em 60 ‘manutos’. Duas pessoas caminham juntas. Uma está com um relógio no sistema de ‘huras e manutos’ e a outra com seu relógio no sistema normal de horas e minutos. Caminharam de modo que, no relógio da primeira pessoa, haviam se passado 5 ‘huras’ e 54 ‘manutos’. No relógio da segunda pessoa esse tempo decorrido foi de

a) 8 horas e 51 minutos.

b) 4 horas e 36 minutos.

c) 5 horas e 13 minutos.

d) 3 horas e 56 minutos.

e) 1 horas e 58 minutos.

Solução:

1) Aqui, calcularemos o total de “huras" de duração, em 5 “huras" + 54 “manutos", sabendo que 60 “manutos" equivalem a 1 “hura".

60 man ———- 1 hur

54 man ———  $$x$$

$$60x=54\longrightarrow x=\frac{54}{60}=0,9$$ “huras".

No total, foram 5+0,9=5,9 “huras".

 

2) Aqui, calculamos a proporção entre “huras" e horas.

24 hur ——— 16 hor

5,9 hur ——— $$y$$

$$24y=5,9\cdot 16\longrightarrow y=\frac{5,9\cdot 16}{24}=\frac{5,9\cdot 2}{3}\cong 3,933$$ horas = 3 horas + 0,933 hora .

 

3) Por fim, 0,933 hora equivale a $$0,933\cdot 60\cong 56$$ minutos.

São, portanto, 3 horas e 56 minutos.

Resposta: d)

Questão 40

Já que em determinadas situações e também para algumas pessoas “Tempo é dinheiro”, uma ação na Bolsa de Valores, apresentou a seguinte evolução: nos primeiros 30 minutos do pregão o seu preço, para ser comprada, passou de R$ 12,00 para R$ 12,75. Um investidor comprou 1000 dessas ações ao preço de R$ 12,00 no início do pregão e vendeu todas elas após 18 minutos. Supondo que a variação desse preço tenha ocorrido igualmente distribuída nos 30 minutos iniciais do pregão, o lucro bruto alcançado por esse investidor, em 18 minutos, foi de

a) R$ 450,00.

b) R$ 325,00.

c) R$ 750,00.

d) R$ 900,00.

e) R$ 250,00.

Solução:

Em 30 minutos, a variação do valor foi de R$ 0,75, ou seja, a taxa(proporção) de crescimento monetário foi de $$\frac{0,75}{30}=0,025$$ R$\min.

R$ 0,025 ———- 1 min

$$x$$ ———– 18 min

$$x=18\cdot 0,025= 0,45$$ R$ de lucro, para cada ação.

Por terem sido compradas 1000 ações, no total, ele obteve um lucro, nestes 18 minutos, de $$1000\cdot 0,45=R\$ 450,00$$.

Resposta: a)

Questão 42

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O tempo “é uma obsessão para os atletas olímpicos em busca de recordes”. O recorde da corrida dos 5000 metros pertence a Kenenisa Bekele e é de 12 minutos e 37 segundos. Um atleta que reduzir esse tempo em 2% completará a distância com uma diminuição do tempo do recorde de, aproximadamente, a) 7 segundos.

b) 23 segundos.

c) 15 segundos.

d) 8 segundos.

e) 11 segundos.

Solução:

A fórmula de desconto é $$V_{f}=V_{0}(1-i)$$, com $$V_{f}$$, o valor final, $$V_{0}$$, o valor inicial e $$i$$, a taxa percentual de desconto.

Nos minutos: $$V_{f}=12\cdot (1-2\%)=12\cdot 0,98= 11,76$$ minutos.

Nos segundos: $$V_{f}=37\cdot (1-2\%)=37\cdot 0,98= $$ 36,26 segundos.

Fazendo a proporção, convertemos os segundos em minutos.

 

1 min ———- 60 s

$$x$$ ———- 36,26 s

$$60x=36,26\longrightarrow x=36,26/60\cong 0,60433$$.

Somando este valor aos 11,76,  obtemos $$11,76+0,60433\cong 12,3643$$.

 

Agora, convertemos os 37 segundos (12’37") em minutos.

1 min ———- 60 s

$$y$$ ———- 37 s

$$60x=37\longrightarrow x=36,26/60\cong 0,61667$$.

Deste modo, o recorde inicial foi de 12,61667 (=12+0,61667) minutos.

A diferença: $$12,61667-12,3643\cong 0,2523$$ min.

 

1 min ———- 60 s

0,2523 min ———- $$z$$

$$z=60\cdot 0,2523\cong 15,14$$ s.

Resposta: c)

Questão 47

O relógio que está na torre do Big Ben foi construído com o ponteiro grande medindo 4,7 metros e o ponteiro pequeno medindo 2,7 metros. Exatamente às 2 horas, a distância entre as pontas, que marcam o tempo, dos dois ponteiros é de, aproximadamente,

a) 5,0 m.

b) 4,6 m.

c) 4,4 m.

d) 3,8 m.

e) 4,1 m.

Solução:

 

Recorde que um relógio analógico (com ponteiros) é dividido em 12 seções de 30°, pois $$360^{\circ}/12^{\circ}=30^{\circ}$$.

Às 2:00, o ponteiro grande encontra-se na marca 12 e o ponteiro pequeno encontra-se na marca 2, conforme a figura a seguir.

O ângulo entre eles é de 60°, pois há duas subdivisões entre as marcas 12 e 2.

A distância $$c$$ será calculada pela Lei dos Cossenos: $$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot cos(\theta)$$, com θ, o ângulo entre os lados $$a$$ e $$b$$. Sejam $$a=2,7$$m e $$b=4,7$$m.

\[c^{2}=2,7^{2}+4,7^{2}-2\cdot2,7\cdot 4,7\cdot cos(60^{\circ})=29,38-12,69=16,69\Longrightarrow c=\sqrt{16,69}\cong 4,08\;m\]

Resposta: e)

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