Resolução – UERJ 2016 (2º Exame de Qualificação) – Matemática

Questão 22

O ano bissexto possui 366 dias e sempre é múltiplo de 4. O ano de 2012 foi o último bissexto. Porém, há casos especiais de anos que, apesar de múltiplos de 4, não são bissextos: são aqueles que também são múltiplos de 100 e não são múltiplos de 400. O ano de 1900 foi o último caso especial. A soma dos algarismos do próximo ano que será um caso especial é:

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

Solução:

Depois do ano 2000, o próximo número múltiplo de 100 e de 4 será 0 2100. Para saber se é bissexto, precisamos descobrir se é divisível por 400. De fato, pelo Algoritmo de Euclides, $$2100=400*5+100$$, ou seja, não é divisível por 400. Logo este é o número procurado.

Resposta: a)

Questão 23

Um fabricante produz embalagens de volume igual a 8 litros no formato de um prisma reto com base quadrada de aresta a e altura h. Visando à redução de custos, a área superficial da embalagem é a menor possível. Nesse caso, o valor de a corresponde, em decímetros, à raiz real da seguinte equação:

\[4a^{2}-\frac{32}{a}=0\]

As medidas da embalagem, em decímetros, são:

a) a = 1 ; h = 2

b) a = 1 ; h = 4

c) a = 2 ; h = 4

d) a = 2 ; h = 2

Solução:

Rearranjando a equação, obteremos as raízes. Multiplique a equação original (os dois lados) por $$a$$.

\[4a^{2}-\frac{32}{a}=0\Longrightarrow 4a^{3}-32=0\Longrightarrow 4a^{3}=32\Longrightarrow a^{3}=8\Longrightarrow a=\sqrt[3]{8}=2\]

A embalagem tem volume que é produto entre a área da base ,$$a^{2}$$, e a altura h; este resultado é igual a 8 decímetros cúbicos. Utilizando o valor de $$a=2$$, calcula-se a altura:

\[a^{2}\cdot h=8\Longrightarrow 2^{2}h=4h=8\Longrightarrow h=2\]

Resposta: d)

Questão 24

Uma campanha de supermercado permite a troca de oito garrafas vazias, de qualquer volume, por uma garrafa de 1 litro cheia de guaraná. Considere uma pessoa que, tendo 96 garrafas vazias, fez todas as trocas possíveis. Após esvaziar todas as garrafas que ganhou, ela também as troca no mesmo supermercado. Se não são acrescentadas novas garrafas vazias, o total máximo de litros de guaraná recebidos por essa pessoa em todo o processo de troca equivale a:

a) 12

b) 13

c) 14

d) 15

Solução:

Com as 96 garrafas iniciais, foi possível obter $$98/8=12$$ novas garrafas, isto é, 12 litros. Na próxima vez em que trocar, será possível ao consumidor, obter 1 nova garrafa, pois $$12=1\cdot 8+4$$. Ao final das trocas possíveis, ele terá recebido um total de 13 litros.

Resposta: b)

Questão 25

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No ano letivo de 2014, em uma turma de 40 alunos, 60% eram meninas. Nessa turma, ao final do ano, todas as meninas foram aprovadas e alguns meninos foram reprovados. Em 2015, nenhum aluno novo foi matriculado, e todos os aprovados confirmaram suas matrículas. Com essa nova composição, em 2015, a turma passou a ter 20% de meninos. O número de meninos aprovados em 2014 foi igual a:

a) 4

b) 5

c) 6

d) 8

Solução:

 

Inicialmente, as meninas eram $$0,6\cdot 40=24$$. Com a virada do ano letivo, as 24 meninas permaneceram, num total de $$x$$ alunos e os meninos reduziram-se a 20%, ou seja, 80% da classe é composto pelas 24 meninas.

\[80\%\cdot x=24\longrightarrow 0,8x=24\longrightarrow x=24/0,8=30\].

Assim, nota-se que a classe é composta de 24 meninas e 6 meninos, pois o total é de 30 alunos.

Resposta: c)

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