Resolução – UNESP 2016 (2ª Fase – Meio do Ano) – Matemática

Questão

Em um plano cartesiano ortogonal são dadas uma reta d, de equação x = –3, e um ponto F, de coordenadas (–1, 2). Nesse plano, o conjunto dos pontos que estão à mesma distância do ponto F e da reta d forma uma parábola. Na figura, estão nomeados dois pontos dessa parábola: o vértice V, de coordenadas (–2, 2), e o ponto P, de coordenadas $$(0,y_{p})$$.

Determine as coordenadas de dois pontos quaisquer dessa parábola que sejam diferentes de V e de P. Em seguida, calcule $$y_{p}$$.

Solução

O ponto $$(-1,0)$$ está sobre a parábola. Pela figura, é possível notar que a distância do ponto ao F(foco) e sua distância à reta $$x=-3$$ é de 2, isto é, possui distâncias iguais para F e para a reta.

Para justificar este fato, basta observar que a reta $$x=-3$$ é paralela ao eixo y, portanto a distância desta reta a qualquer ponto no eixo x será a diferença entre os dois “xis”, isto é, $$|-3-(-1)|=2$$; e a distância entre (-1,0) e F é a diferença entre seus “ípsilon”, uma vez que estão sobre o mesmo $$x=-1$$, ou seja, é $$|-2-0|=2$$.

Tomemos um ponto arbitrário (0,y). A fim de que esteja sobre a parábola, precisamos forçar que a distância do ponto ao foco (F) e à reta sejam iguais. A distância do ponto (0,y) à reta $$x=-3$$ é a diferença de seus “xis”: $$|-3-0|=3$$. A distância deste ponto ao (F) deve ter o mesmo valor calculado.

\[3^{2}=d_{ao\; foco}^{2}=(-1-0)^{2}+(2-y)^{2}=y^{2}-4y+5\Longrightarrow y^{2}-4y-4=0\].

Resolvendo a equação por Bhaskara,

\[y=\frac{4\pm\sqrt{4^{2}-4(-4)}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{32}}{2}=2\pm2\sqrt{2}\].

Note que o ponto $$(0,y_{p})$$ satisfaz a equação anterior, calculada para qualquer ponto da forma (0,y). Como ele está localizado acima do eixo x, então seu valor é positivo, ou seja, $$2+2\sqrt{2}$$.

 

Questão

Uma empresa oferece frete gratuito para entregas do seu produto em um raio de até 25 km do depósito. Para a distância que ultrapassar 25 km, medida em linha reta desde o depósito, a empresa cobra R$ 20,00 por quilômetro que ultrapasse os 25 km iniciais gratuitos. Essa cobrança também é feita de forma proporcional em caso de frações de quilômetros.
Um consumidor do produto reside 20 km a leste do depósito e x km ao sul. Apresente uma figura representando a situação descrita e determine o valor máximo de x para que esse consumidor tenha direito ao frete gratuito na entrega do produto em sua residência. Em seguida, determine o custo do frete C (em reais), em função de x, para o caso em que C(x)≠0.

Solução:

Observe a figura. A distância em linha reta é calculada pelo Teorema de Pitágoras, no retângulo da figura esquematizada.

\[d^{2}=x^{2}+20^{2}=x^{2}+400\]. Para ter direito ao frete gratuito, esta distância deverá ser no máximo de 25Km. Igualamos este valor a $$d$$, a fim de obter o valor de $$x$$ na equação.

\[25^{2}=x^{2}+400\longrightarrow 625-400=225=x^{2}\longrightarrow x=15Km\].

O custo em função da distância será $$C(d)=(d-25)\cdot 20$$, isto é, cobram 20 reais para cada quilômetro a mais. Como $$d=(x^{2}+400)^{2}$$, então

\[C(x)=((x^{2}+400)^{1/2}-25)\cdot 20\].

Questão

A demanda de um produto químico no mercado é de D toneladas quando o preço por tonelada é igual a p (em milhares de reais). Neste preço, o fabricante desse produto oferece F toneladas ao mercado. Estudos econômicos do setor químico indicam que D e F variam em função de p, de acordo com as seguintes funções:

\[D(p)=\frac{3p^{2}-21p}{4-2p}\;;\;F(p)=\frac{5p-10}{3}\]

Admitindo-se p>1 e sabendo que $$\sqrt{7569}=87$$, determine o valor de p para o qual a oferta é igual à demanda desse produto. Em seguida, e ainda admitindo-se p > 1, determine o intervalo real de variação de p para o qual a demanda D(p) do
produto é positiva.

Solução:

Igualando as funções, teremos

\[\frac{3p^{2}-21p}{4-2p}=\frac{5p-10}{3}\longrightarrow 9p^{2}-63p=(4-2p)(5p-10)=20p-40-10p^{2}+20p\Longrightarrow 19p^{2}-103p+40=0\].

Resolvendo por Bhaskara, teremos (para p>1)

\[p=\frac{103\pm\sqrt{(-103)^{2}-4\cdot 19\cdot 40}}{38}=\frac{103\pm\sqrt{7569}}{38}=\]. Como p>1, escolhemos o sinal de + para a raiz quadrada e obtemos o resultado de $$p=5$$.

 

Análise do intervalo em que:

\[\frac{3p^{2}-21p}{4-2p}\].

Façamos a inequação quociente, calculando os sinais de crescimento e decrescimento das funções do numerador e do denominador.

i) $$3p^{2}-21p>0$$. As raízes da equação são $$p=0$$ e $$p=7$$. Trata-se de uma equação do segundo grau, portanto precisamos estudar os sinais desta equação. Note que a concavidade da parábola é “para cima”. Entre 0 e 7, a função é negativa. Acima de 7 ou abaixo de 0, a função é positiva.

ii) $$4-2p>0\longrightarrow 4>2p\longrightarrow 2>p$$. Ela é negativa para p>2 e é positiva para p<2.

O intervalo em que $$p>1$$ e a demanda é positiva corresponde a $$2<p<7$$.

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