Matemática Unesp

Resolução – UNESP 2018 – Meio do Ano (2ª Fase) – Q 23 (Matemática)

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Questão 23

A terceira Lei de Kepler sobre o movimento de planetas, aplicada a um certo sistema planetário, afirma que o período P da órbita elíptica de um planeta, em dias, está relacionado ao semieixo maior a da elipse, em milhões de quilômetros, pela fórmula $$P=0,199\cdot \alpha^{3/2}$$ . Nos cálculos a seguir, considere 1 ano = 365 dias.

a) Sabendo que o período da órbita de um planeta é 1,99 ano, calcule o valor de $$\alpha^{3/2}$$.

b) Calcule o período P de um planeta desse sistema planetário cuja órbita elíptica está representada na figura a seguir.

Solução:

a) O valor de 1,99 anos deve ser convertido para dias. Para isso, basta multiplicarmos o número por 365.

Pondo $$1,99\cdot 365 =P=0,199\cdot \alpha^{3/2}$$ e ajustando $$0,199 = 1,99\cdot 10^{-1}$$, manipularemos a igualdade a seguir:

\[1,99\cdot 365=1,99\cdot 10^{-1}\cdot \alpha^{3/2}$$\Longrightarrow 365\cdot 1/10^{-1}=\alpha^{3/2}\Longrightarrow 3650 = \alpha^{3/2}\].

b) O semieixo mede a metade de 32 milhões de quilômetros, isto é, 16 milhões. A unidade já está ajustada, portanto é necessário apenas substituir o valor na fórmula.

\[P=0,199\cdot (16)^{3/2}=0,199\cdot (\sqrt[2]{16})^{3}=0,199\cdot 4^{3} = 12,736 dias\]


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