Resolução – UNICAMP 2014 – 1ª Fase – Matemática (continuação 3)

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Questão

O gráfico abaixo exibe a curva de potencial biótico $$q(t)$$ para uma população de micro-organismos (microorganismos), ao longo do tempo $$t$$.

Sendo $$a$$ e $$b$$ constantes reais, a função que pode representar esse potencial é

Solução:

Sabemos que, no instante $$t=0$$, há uma população de 1000 indivíduos. Portanto descartamos o item (b), uma vez que este é nulo, para $$t=0$$, sejam quaisquer $$a$$ e $$b$$.

O item (c) é descartado pois trata-se de uma equação da reta, enquanto que o gráfico não é uma reta.

O item (d) também está descartado, uma vez que não podemos ter $$\log_{b}0$$, ainda que tenhamos $$a=1000$$.

Resposta: a)


Questão

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O módulo do número complexo $$z=i^{2014}-i^{1987}$$ é igual a

a) 0
b) √2 .
c) √3 .
d) 1.

Solução:

Dividindo 2014 por 4, obtemos um quociente igual 503 e um resto igual a 2; $$2014 = 503\cdot 4 + 2$$.

Dividindo 1987 por 4, obtemos um quociente igual a 496 e um resto igual 3; $$1987 = 496\cdot 4 + 3$$.

Assim, $$i^{2014}=i^{503\cdot 4 + 2}=(i^{4})^{503}\cdot i^{2}$$ e $$i^{1987}=i^{496\cdot 4 + 3}=(i^{4})^{496}\cdot i^{3}$$

 

$$z=(i^{4})^{503}\cdot i^{2}-(i^{4})^{496}\cdot i^{3}=i^{2}-i^{3}=-1+i$$

O módulo deste complexo é:

\[|z|^{2}=1^{2}+1^{2}\longrightarrow |z|=\sqrt{2}\].

Resposta: b)


Questão

Considere a matriz M (figura), onde $$a$$ e $$b$$ são números reais distintos. Podemos afirmar que

a) a matriz M não é invertível.

b) o determinante de M é igual a $$a^{2}-b^{2}$$.

c) o determinante de M é positivo.

d) a matriz M é igual à sua transposta.

Solução:

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