A propriedade da mudança de base do logaritmo é dada por $$\mathbf{log_{b}a=\frac{log_{c}a}{log_{c}b}}$$. Tal expressão é extremamente importante, visto que muitas questões fornecem valores da tabela do logaritmo em base distinta àquela com a qual estamos trabalhando. Observe um exemplo.
Exemplo 1
Se $$log 2 \cong 0,3$$ e $$log 3\cong 0,477$$, qual é o valor de $$log 2_{3}$$ ?
Basta aplicarmos a fórmula:
\[log_{3}2 = \frac{log 2}{log 3}=\frac{0,3}{0,4}=0,629.\]
Demonstração da Fórmula de Mudança de Base
Usaremos as propriedades das potências para demonstrar a fórmula. Sejam $$x=log_{b}a$$, $$y=log_{c}a$$ e $$z=log_{c}b$$.
Aplicando a Definição de Logaritmo e supondo condições de existência satisfeitas, teremos
$$(i)\; a=b^{x}, \; (ii)\; a=c^{y}$$ e $$(iii)\; b=c^{z}$$.
Note que podemos substituir $$(iii)$$ em $$(i)$$, logo $$a=b^{x}=(c^{z})^{x}=c^{xz}$$. Por fim, podemos igualar esta última expressão à expressão $$(ii)$$, de modo a obtermos $$c^{y}=c^{xz}$$. Isso implica a igualdade $$y=xz$$, ou, de outro modo, $$x = \frac{y}{z}$$.
Agora, basta substituirmos as variáveis $$x,y$$ e $$z$$ por seus respectivos logaritmos, e teremos
\[log_{b}a=x=\frac{y}{z}=\frac{log_{c}a}{log_{c}b}.\]
