Existe uma igualdade importante nos logaritmos, que é $$\mathbf{log_{b}a^{x} = x\cdot log_{b}a}$$. Essa regra facilita muito a nossa vida, pois reduzimos o número de contas inúteis que podem aparecer.
Exemplo
Se $$log 2 \cong 0,3$$, qual é o valor de $$log 32$$ ?
Basta observar que $$2^{5}=32$$, então $$log 32 = log 2^{5} = 5\cdot log 2 = 1,5$$.
Demonstração da Propriedade
Seja $$k = log_{b}a$$. Aplicando a definição dos logaritmos, teremos $$a=b^{k}$$. Se elevarmos os dois lados da igualdade a $$x$$, obtemos $$a^{x}=(b^{k})^{x} = b^{kx}$$.
Agora, aplicamos a definição do logaritmo na igualdade anterior e obtemos
\[log_{b} a^{x} = log_{b}b^{kx} (*).\]
Note que, se $$log_{b}b^{kx}=z$$, então $$b^{z}=b^{kx} \Longleftrightarrow z = kx$$. Logo a expressão $$(*)$$ se torna $$log_{b}a^{x}=log_{b}b^{kx}=kx = x\cdot log_{b}a$$.
