A propriedade operatória do logaritmo da multiplicação é muito útil nos cálculos cotidianos. A regra diz que $$\mathbf{log_{c}(a\cdot b)=log_{c}a + log_{c}b}$$.
Exemplo
Se $$log 2\cong 0,3$$ e $$log 3 \cong 0,477$$, qual é o valor de $$log 6$$ ?
Usando a propriedade, obtemos $$log 6 = log (2\cdot 3) = log 2 + log 3 = 0,777$$.
Demonstração da Propriedade
Sejam $$x=log_{c}a, y=log_{c}b$$ e $$z=log_{c}(a\cdot b)$$. Aplicando a definição de logaritmo nas três igualdades anteriores, obtemos, respectivamente, $$a = c^{x}, b=c^{y}$$ e $$a\cdot b = c^{z}$$.
Agora, substitua as duas primeiras identidades na terceira equação e use a propriedade das potências para soma de expoentes em bases iguais. Então obtemos a igualdade
\[c^{x+ y}c^{x}\cdot c^{y}=c^{z}.\]
Essa igualdade é válida se, e somente se, $$x+y=z$$. Por definição de x,y e z, obtemos $$log_{c}a+log_{c}b=log_{c}(a\cdot b)$$.
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