É fundamental saber a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica, seja nas provas, no vestibular, no ENEM e, principalmente, nos problemas práticos! Neste artigo, eu explico de uma maneira rápida e fácil como obter o termo geral de uma PG.
Lembre-se do que é uma Progressão Geométrica
A PG é uma sequência de números em que cada termo é obtido ao multiplicarmos um valor específico, chamado razão, pelo termo imediatamente anterior. Esse valor, a razão, nunca muda, ele é constante!
Um exemplo básico de progressão geométrica é este:
(2,6,18,54,162,…).
Note que o primeiro termo a sequência é o 2. A razão (q) é obtida ao dividirmos o segundo termo pelo primeiro, isto é: $$6/2 = 3$$. Poderíamos tomar qualquer outro par de termos, observe: $$54/18=3$$
Fórmula que calcula todos os termos a partir do primeiro
Com essa ideia em mente, podemos encontrar uma fórmula simples, que nos permite calcular o valor de um termo (gn), se soubermos a ordem (n) daquele termo na sequência. Observe que, a partir do primeiro termo (o número 2), podemos obter qualquer outro termo:
- $$g_{2}=6=2\cdot 3$$;
- $$g_{3}=18=2\cdot 3^{2}$$;
- $$g_{4}=54=2\cdot 3^{3}$$.
Isso pode ser escrito algebricamente como
\[g_{n}=2\cdot 3^{n-1}, \text{para}\; n\in\{1,2,…\}.\]
Para quaisquer termo inicial (g1) e razão (q), podemos escrever
\[\mathbf{g_{n}=g_{1}\cdot q^{n-1}}.\]
- Confira nossa lista de exercícios resolvidos sobre termo geral da PG!
- Próxima Aula: Soma dos Termos de uma PG
Termo geral a partir de qualquer outro termo
Em nosso exemplo, poderíamos escrever qualquer termo a partir do segundo. Observe:
- $$g_{1}=2=6\cdot 3^{1-2}$$;
- $$g_{3}=18=6\cdot 3^{3-2}$$;
- $$g_{4}=54=6\cdot 3^{4-2}$$.
Isso gera a fórmula
\[g_{n}=6\cdot 3^{n-2}, \text{para}\; n\in\{1,2,…\}.\]
De modo geral, dado um termo $$g_{m}$$, com $$m\in\{1,2,…\}$$, podemos obter qualquer outro termo $$g_{n}$$, usando a fórmula
\[\mathbf{g_{n}=g_{m}\cdot q^{n-m}}.\]
- Confira nossa lista de exercícios resolvidos sobre termo geral da PG!
- Próxima Aula: Soma dos Termos de uma PG
