Um jogo para duas pessoas consiste em uma urna com 2 bolas vermelhas e 1 azul. Ganha o jogo quem retirar da urna a bola azul. Caso um jogador retire uma bola vermelha, essa volta para a urna, e o outro jogador faz sua retirada. Os jogadores vão alternando suas retiradas até que saia a bola azul. Todas as bolas têm a mesma probabilidade de serem retiradas. A probabilidade do primeiro a jogar ganhar o jogo, isto é, em uma de suas retiradas pegar a bola azul, vale
Solução:
A probabilidade de retirar uma bola vermelha é sempre 2/3, e a probabilidade de retirar uma bola azul é 1/3, tudo isso em cada retirada.
Denotemos as sequências de retiradas pela justaposição das letras A e V, em que A representa a bola azul e V representa a bola vermelha. O jogador que retirar a bola azul vence. Alguns exemplos de sequências deste jogo são A, VA, VVA, VVVVVVVVVA, etc.
As sequências em que o primeiro jogador é vencedor são A, VVA, VVVVA, VVVVVVA, e assim por diante. Obtemos cada termo colocando duas letras V no início. Agora, observe as probabilidades de cada uma dessas sequências apresentadas:
- A | p=1/3,
- VVA | p=(2/3)²(1/3),
- VVVVA | p =(2/3)4(1/3).
Observamos o padrão $$p_{i}=(2/3)^{2(i-1)}(1/3)$$. Como cada uma dessas probabilidades representa eventos disjuntos, a probabilidade de que o primeiro jogador vença é a soma de todas essas probabilidades. Dado que a sequência é uma progressão geométrica de razão $$(2/3)^{2}=4/9<1$$ e primeiro termo $$p_{1}=1/3$$, podemos empregar a fórmula da Soma Infinita para calcular $$\sum^{\infty}_{i=0} p_{i}$$.
Assim, teremos $$S_{\infty}=\frac{(1/3)}{1-(4/9)}=\frac{3}{5}$$.
