Três números positivos, cuja soma é 30, estão em progressão aritmética. Somando-se, respectivamente, 4, −4 e −9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa progressão aritmética, obtemos três números em
progressão geométrica. Então, um dos termos da progressão aritmética é
a) 9
b) 11
c) 12
d) 13
e) 15
Solução:
Coloquemos os termos da progressão aritmética do seguinte modo: (a-r), a, (a+r), em que $$r$$ é a razão e o termo central é $$a$$. Se somarmos os três termos, teremos o resultado igual a 30, logo $$3a = a-r+a+a+r = 30$$, então $$a=10$$.
Coloquemos, agora, os termos, somados aos números do enunciado, em progressão geométrica. Temos a sequência (14-r), 6 , 1+r. Uma propriedade da progressão geométrica diz que o termo que se situa entre outros dois terá seu quadrado igual ao produto dos seus vizinhos, isto é:
\[(14-r)(1+r)=6^{2}=36.\]
Assim, temos a equação do segundo grau $$r^{2}-13r+22=0$$. Por Bhaskara, as raízes serão $$r=11$$ ou $$r=2$$. Observe que, ao substituirmos os valores na sequência, teremos duas possibilidades:
- -1,10,21;
- 8,10,12 .
O único termo que está presente no gabarito é igual a 12.
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