Termo geral de uma PG

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É fundamental saber a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica, seja nas provas, no vestibular, no ENEM e, principalmente, nos problemas práticos! Neste artigo, eu explico de uma maneira rápida e fácil como obter o termo geral de uma PG.

Lembre-se do que é uma Progressão Geométrica

A PG é uma sequência de números em que cada termo é obtido ao multiplicarmos um valor específico, chamado razão, pelo termo imediatamente anterior. Esse valor, a razão, nunca muda, ele é constante!

Um exemplo básico de progressão geométrica é este:

(2,6,18,54,162,…).

Note que o primeiro termo a sequência é o 2. A razão (q) é obtida ao dividirmos o segundo termo pelo primeiro, isto é: $$6/2 = 3$$. Poderíamos tomar qualquer outro par de termos, observe: $$54/18=3$$

 

Fórmula que calcula todos os termos a partir do primeiro

Com essa ideia em mente, podemos encontrar uma fórmula simples, que nos permite calcular o valor de um termo (gn), se soubermos a ordem (n) daquele termo na sequência. Observe que, a partir do primeiro termo (o número 2), podemos obter qualquer outro termo:

  • $$g_{2}=6=2\cdot 3$$;
  • $$g_{3}=18=2\cdot 3^{2}$$;
  • $$g_{4}=54=2\cdot 3^{3}$$.

Isso pode ser escrito algebricamente como

\[g_{n}=2\cdot 3^{n-1}, \text{para}\; n\in\{1,2,…\}.\]

Para quaisquer termo inicial (g1) e razão (q), podemos escrever

\[\mathbf{g_{n}=g_{1}\cdot q^{n-1}}.\]

Termo geral a partir de qualquer outro termo

Em nosso exemplo, poderíamos escrever qualquer termo a partir do segundo. Observe:

  • $$g_{1}=2=6\cdot 3^{1-2}$$;
  • $$g_{3}=18=6\cdot 3^{3-2}$$;
  • $$g_{4}=54=6\cdot 3^{4-2}$$.

Isso gera a fórmula

\[g_{n}=6\cdot 3^{n-2}, \text{para}\; n\in\{1,2,…\}.\]

De modo geral, dado um termo $$g_{m}$$, com $$m\in\{1,2,…\}$$, podemos obter qualquer outro termo $$g_{n}$$, usando a fórmula

\[\mathbf{g_{n}=g_{m}\cdot q^{n-m}}.\]


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