Álgebra Linear – Matrizes – Autovalores (exercício 4)
Questão Seja A uma matriz quadrada e ε > 0. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes: a) $$\lambda$$ é autovalor de $$A+B$$, para alguma...
Álgebra Linear – Matrizes – Autovalores (exercício 3)
Questão Sejam $$d\in\mathbb{R^{n}}$$ com todos os seus valores distintos,$$ v\in\mathbb{R^{n}}$$ com todos os elementos não nulos e $$a\in\mathbb{R}$$, e defina $$A=\left(\begin{array}{rrr} D&v\\ v^{T}&a \end{array}\right)$$, com...
Introdução à Análise Funcional – Espaço de Hilbert (exercício 3)
Questão Mostre que, para uma sequência $$(x_{n})$$, em um espaço vetorial munido de produto interno, se $$||x_{n}||\longrightarrow ||x||$$ e $$<x_{n},x>\longrightarrow <x,x>$$, é válida a convergência...
Álgebra Linear – Matrizes – SVD (exercício 1)
Questão Seja $$A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$$. Prove que $$\sigma_{1}=sup_{x,y}\frac{y^{T}Ax}{||y||_{2}||x||_{2}}$$, para $$x\in\mathbb{R^{n}} e $$y\in\mathbb{R^{m}}$$, onde $$sigma_{1}$$ é o maior valor singular da SVD. Demonstração: Pelo teorema da...
Álgebra Linear – Matrizes – Autovalores (exercício 2)
Questão Seja H uma matriz hermitiana. Prove que: (a) Se $$H = A + iB$$, com $$A$$ e $$B$$ reais, A é simétrica, e B...
Álgebra Linear – Matrizes – Autovalores (exercício 1)
Seja A uma matriz hermitiana de ordem $$n$$, com coeficientes complexos. Defina $$r(x)=x^{*}Ax$$. Prove que $$max_{||x||=1}\{r(x)\}=max\{\Lambda(A)\}$$. Prove o resultado análogo para o mínimo. Observação: $$\Lambda(A)$$...