Questão 7

Um recipiente de vidro e uma amostra indeformada de solo saturado contido em seu interior apresentaram uma massa total de 68,959 g. Depois de seco o solo, o conjunto passou para 62,011 g. Sabendo que o recipiente tem massa de 35,046 g e que o peso específico dos sólidos é igual a 28,0 kN/m³, calcular:

(a) o índice de vazios
(b) o teor de umidade
(c) a porosidade

Solução:

a) Para o índice de vazios precisamos encontrar o volume de vazios e o volume de sólidos.

O enunciado nos diz que o solo está saturado, portanto a massa de vazios é igual à massa de água $$M_{v} = M_{w}$$. Com essa igualdade, podemos dizer que o volume de vazios também é igual ao volume de água $$V_{v} = V_{w}$$.

Primeiro vamos encontrar a massa de água. Podemos simplesmente subtrair a massa seca da massa úmida, mesmo sem descontar a massa do recipiente, pois estas vão se cancelar na subtração:

$$M_{w} = 68,959 – 62,011 \longrightarrow M_{w} = 6,948\, g$$

Como a densidade da água é 1 g/cm³, temos um volume de $$V_{w} = 6,948\, cm^{3}$$.

Já a massa dos sólidos será encontrada subtraindo a massa do recipiente da massa seca dada no enunciado.

$$M_{s} = 62,011 – 35,046 \longrightarrow M_{s} = 26,965\, g$$

Precisamos da massa específica dos sólidos, que pode ser obtida dividindo o peso específico dos sólidos por 10. Assim podemos encontrar o volume de sólidos em cm³.

$$V_{s} = \frac{M_{s}}{\rho_{s}} \longrightarrow V_{s} = \frac{26,965}{2,8} \longrightarrow V_{s} = 9,630\, cm^{3}$$

Finalmente, podemos encontrar o índice de vazios

$$e = \frac{V_{v}}{V_{s}} \longrightarrow e = \frac{6,948}{9,63} \longrightarrow e = 0,72$$

b) O teor de umidade por ser encontrado pela definição

$$w = \frac{M_{w}}{M_{s}} \longrightarrow w = \frac{6,948}{26,965} \longrightarrow w = 25,77%$$

c) Para encontrar a porosidade, precisamos saber o volume total. Como a amostra é saturada, o volume total é

$$V = V_{s} + V_{w} \longrightarrow V = 9,630 + 6,948 \longrightarrow V = 16,578\, cm^{3}$$

Agora podemos encontrar a porosidade pela definição:

$$m = \frac{V_{v}}{V} \longrightarrow m = \frac{6,948}{16,578} \longrightarrow m = 41,91%$$

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Questão 6

95 g de um solo úmido com volume de 50 cm³ apresentou, depois de seco em estufa, massa igual a 75 g. Sabendo que o peso específico dos sólidos desse solo é 26,8 kN/m³, obter:

(a) o teor de umidade
(b) o índice de vazios
(c) a porosidade
(d) o grau de saturação
(e) o peso específico natural
(f) o peso específico seco

Solução:

a) O teor de umidade pode ser obtido pela sua definição:

$$w = \frac{M_{w}}{M_{s}} \longrightarrow w = \frac{M – M_{s}}{M_{s}} \longrightarrow w = \frac{95 – 75}{75} \longrightarrow w = 26,67%$$

b) O índice de vazios também pode ser calculado pela sua definição:

$$e = \frac{V_{v}}{V_{s}} \longrightarrow e = \frac{V – V_{s}}{V_{s}} \longrightarrow e = \frac{50 – 27,99}{27,99} \longrightarrow e = 0,786$$

c) A porosidade também pode ser encontrada pela definição:

$$m = \frac{V_{v}}{V} \longrightarrow m = \frac{V – V_{s}}{V} \longrightarrow m = \frac{50 – 27,99}{50} \longrightarrow m = 44,02%$$

d) O grau de saturação será encontrado pela sua definição, lembrando que $$\rho_{w} = 1\, g/cm^{3}$$

$$S = \frac{V_{w}}{V_{v}} \longrightarrow S = \frac{M_{w}\cdot \rho_{w}}{V – V_{s}} \longrightarrow S = \frac{(M – M_{s})\cdot \rho_{w}}{V – V_{s}} \longrightarrow S = \frac{(95 – 75)\cdot 1}{50 – 27,99} \longrightarrow S = 90,87%$$

e) O peso específico natural será calculado através da massa específica natural, multiplicada por 10, alterando a unidade g/cm³ para kN/m³.

$$\gamma = 10\cdot \rho \longrightarrow \gamma = 10\cdot\frac{M}{V} \longrightarrow \gamma = 10\cdot\frac{95}{50} \longrightarrow \gamma = 19\, kN/m^{3}$$

f) O peso específico seco será obtido multiplicando-se por 10 o resultado da massa específica seca.

$$\gamma_{d} = 10\cdot\rho_{d} \longrightarrow \gamma_{d} = 10\cdot\frac{M_{s}}{V} \longrightarrow \gamma_{d} = 10\cdot\frac{75}{50} \longrightarrow \gamma_{d} = 15\, kN/m^{3}$$

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Questão 5

Um solo saturado com peso específico de 20,4 kN/m³ tem 23% de teor de umidade. Obter:
(a) o peso específico aparente seco
(b) o índice de vazios
(c) o peso específico dos sólidos

a) O peso específico aparente seco pode ser obtido da seguinte forma: \[\gamma_{d} = \frac{\gamma}{1+w} \longrightarrow \gamma_{d} = \frac{20,4}{1+0,23} \longrightarrow \gamma_{d} = 16,59 kN/m^{3}\]

b) Vamos encontrar aqui uma relação para o índice de vazios com os dados que temos. É importante lembrar que, como o solo está saturado, Sr = 100% e $$V_{v} = V_{w}$$.

$$e = \frac{V_{v}}{V_{s}} \longrightarrow e = \frac{V_{v}}{V-V_{v}} \longrightarrow \frac{1}{e} = \frac{V}{V_{v}} – 1 \longrightarrow \frac{1}{e} = \frac{P Sr}{\gamma V_{w}} – 1\longrightarrow \frac{1}{e} = \frac{P Sr \gamma_{w}}{\gamma P_{w}} – 1 \longrightarrow \frac{1}{e} = \frac{P Sr \gamma_{w}}{w\gamma P_{s}} – 1 \longrightarrow \frac{1}{e} = \frac{P Sr \gamma_{w}}{w\gamma\gamma_{d} V} – 1 \longrightarrow$$

$$\frac{1}{e} = \frac{Sr \gamma_{w}}{w\gamma_{d}} – 1 \longrightarrow e = \frac{w\gamma_{d}}{Sr\gamma_{w} – w\gamma_{d}} \longrightarrow e = \frac{0,23\cdot 16,59}{1\cdot 10 – 0,23\cdot 16,59} \longrightarrow e = 0,617$$

c) Temos uma relação entre índice de vazios e peso específico dos sólidos. Basta substituir os valores:

$$e = \frac{\gamma_{s} (1+w)}{\gamma} – 1 \longrightarrow e = \frac{\gamma_{s} (1+0,23)}{20,4} – 1 \longrightarrow \gamma_{s} = 26,87\, kN/m^{3}$$

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Solução:

$$H_{A} = 0$$

$$V_{B}\cdot L = M \longrightarrow V_{B} = \frac{M}{L}$$

$$V_{A} + V_{B} = 0 \longrightarrow V_{A} = -\frac{M}{L}$$

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Solução:

$$H_{A} = 0$$

$$\frac{PL}{2} = V_{B}\cdot L \longrightarrow V_{B} = \frac{P}{2}$$

$$V_{A} + V_{B} = P \longrightarrow V_{A} = \frac{P}{2}$$

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A equação diferencial para esse tipo de situação é: \[Cv\frac{\partial^{2} u_{e}}{\partial z^{2}} = \frac{\partial u_{e}}{\partial t}\] O que configura um problema de valor inicial.

Condição inicial:

Em t = 0, todo o excesso de pressão vai para a água, portanto $$u_{e} = 10\, kPa$$.

Condições de contorno:

Em z = 0, temos a camada de areia compacta, portanto o excesso de pressão neutra é zero, já que a água tem saída livre, portanto $$u_{e} = 0$$.

Em z = H, o velocidade da água é zero, pois há rocha impermeável, que impede o fluxo da água. Portanto $$v = -K\frac{\partial u_{e}}{\partial z} = 0 \longrightarrow \frac{\partial u_{e}}{\partial z} = 0$$.

Aplicando o método das diferenças finitas para ambos os lados, temos

$$\frac{\partial^{2} u_{e}}{\partial z^{2}}|_{z_{0}, t} = \frac{u_{e}\, (z_{0}-\Delta z, t) – 2u_{e}\, (z_{0}, t) + u_{e}\, (z_{0}+\Delta z, t)}{\Delta z^{2}}$$, para qualquer t.

$$\frac{\partial u_{e}}{\partial t}|_{z,t_{0}} = \frac{-u_{e}\, (z, t_{0} + u_{e}\, (z, t_{0} +\Delta t)}{\Delta t}$$, para qualquer z.

Chamando: $$z_{0} = z_{i}$$, $$z_{0} – \Delta z = z_{i-1}$$, $$z_{0} + \Delta z = z_{i+1}$$, $$t_{0} = t_{j}$$ e $$t_{0} + \Delta t = t_{j+1}$$, temos, para i = 1, …, n-1 e j = 1, …

$$Cv\frac{u_{e}\, (z_{i-1}, t_{j} – 2u_{e}\, (z_{i}, t_{j}) + u_{e}\, (z_{i+1}, t_{j})}{\Delta z^{2}} = \frac{-u_{e}\, (z_{i}, t_{j}) + u_{e}\, (z_{i}, t_{j+1})}{\Delta t}$$

$$u_{e}\, (z_{i}, t_{j+1}) = Cv\Delta t\frac{u_{e}\, (z_{i-1}, t_{j}) -2u_{e}\, (z_{i}, t_{j}) +u_{e}\, (z_{i+1}, t_{j})}{\Delta z^{2}} + u_{e}\, (z_{i}, t_{j})$$ (método explícito)

Para i = o, temos, para qualquer t, $$u_{e} = 0$$.

Para i = n, precisamos criar um ponto fictício n+1. Assim, temos

$$\frac{\partial u_{e}}{\partial z}|_{z_{n}} = \frac{u_{e}\, (z_{n-1}, t) – u_{e}\, (z_{n+1}, t)}{2\Delta z} = 0 \longrightarrow u_{e}\, (z_{n+1}, t) = u_{e}\, (z_{n-1}, t)$$

Portanto, para i = n temos a seguinte equação

$$u_{e}\, (z_{i}, t_{j+1}) = Cv\Delta t\frac{2u_{e}\, (z_{i-1}, t_{j}) – 2u_{e}\, (z_{i}, t_{j})}{\Delta z^{2}} + u_{e}\, (z_{i}, t_{j})$$

Para o método explícito existe uma restrição para que ele se mantenha estável:

$$r = \frac{Cv\Delta t}{\Delta z^{2}}\leq \frac{1}{2}$$

Adotando $$\Delta z = 1\, m$$, temos que $$\Delta t_{max}\leq 1,09\cdot 10^{5}\, min \cong 2,52\, meses$$.

Portanto, iremos adotar $$\Delta t = 1\, m\hat{e} s = 43200\, min$$.

Adotando n = 10, podemos resolver o problema no excel inserindo as equações acima e os dados do problema, como mostra a figura abaixo.

Para encontrar em quanto tempo o adensamento se completa, basta puxar as linhas em direção de t até que toda a coluna de z = 0 a 10 fique com $$u_{e} = 0$$.

Porcentagem média de adensamento: é a porcentagem do adensamento total que aconteceu em certo tempo. Para esse cálculo, precisamos da seguinte equação:

$$U = \frac{u_{e}\, (0) – u_{e}\, (t)}{u_{e}\, (0)} \longrightarrow U = \frac{\int ^{H} _{0} [u_{e}\, (0) – u_{e}\, (t)] dz}{\int ^{H} _{0} u_{e}\, (0)} \longrightarrow U = \frac{qH – \int ^{H} _{0} u_{e}\, (t) dz}{qH} \longrightarrow U = 1 – \frac{\int ^{H} _{0} u_{e}\, (t) dz}{qH}$$

Utilizando a regra do trapézio, temos

$$\int ^{H} _{0} u_{e}\, (t) dz = \frac{u_{e_{0}} + u_{e_{1}}}{2}\Delta z + … +\frac{u_{e_{n-1}} + u_{e_{n}}}{2}\Delta z \longrightarrow \int ^{H} _{0} u_{e}\, (t) dz = \frac{\Delta z}{2}(u_{0} + 2u_{1} +…+2u_{n-1} + u_{n})$$

Portanto, temos a seguinte porcentagem média de adensamento para cada tempo:

$$U = 1 – \frac{\Delta z}{2qH}(u_{0}+2u_{1}+…+2u_{n-1}+u_{n})$$

Podemos também calcular o fator tempo:

$$T = \frac{Cv\cdot t}{H_{d}^{2}}$$

A figura abaixo mostra esses cálculos para o nosso exemplo. Neste caso, $$H_{d} = H$$, pois temos uma das faces impermeável. 

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Questão 4

O peso específico natural de um solo é 21,8 kN/m³ e seu peso específico seco é 18,6 kN/m³. Sabendo que o índice de vazios desse solo é igual a 0,48, obter:
(a) o teor de umidade
(b) o grau de saturação
(c) o peso específico saturado
(d) o peso específico dos sólidos

a) O teor da umidade pode ser obtido a partir da relação existente entre o peso específico natural e o seco. \[\gamma_{d} = \frac{\gamma}{1+w} \longrightarrow 18,6 = \frac{21,8}{1+w} \longrightarrow w = 17,20\,

b) O grau de saturação é \[Sr = \frac{V_{w}}{V_{v}}\] A partir dessa definição, vamos chegar em uma relação entre o grau de saturação e os dados que temos. \[Sr = \frac{V_{w}}{V_{v}} \longrightarrow Sr = \frac{P_{w}}{\gamma_{w} V_{v}} \longrightarrow Sr = \frac{P_{w}}{\gamma_{w} e V_{s}} \longrightarrow Sr = \frac{w P_{s}}{\gamma_{w} e V_{s}} \longrightarrow Sr = \frac{w\gamma_{s}}{\gamma_{w} e}\] O peso específico da água, sabemos que é $$\gamma_{w} = 10\, kN/m^{3}$$. O peso específico dos sólidos podemos encontrar através do índice de vazios: \[e = \frac{\gamma_{s} (1+w)}{\gamma} – 1 \longrightarrow e = \frac{\gamma_{s} (1+0,172}{21,8} \longrightarrow \gamma_{s} = 27,53\, kN/m^{3}\] Agora podemos calcular o grau de saturação: \[Sr = \frac{w\gamma_{s}}{\gamma_{w} e} \longrightarrow Sr = \frac{0,172\cdot 27,53}{10\cdot 0,48} \longrightarrow Sr = 98,65\,

c) Aqui, precisamos encontrar o peso específico saturado \[\gamma_{sat} = \frac{P_{s}+V_{v}\gamma_{w}}{V} \longrightarrow \gamma_{sat} = \frac{P_{s}}{V} + \frac{V_{v}\gamma_{w}}{V} \longrightarrow \gamma_{sat} = \gamma_{d} + \frac{(V – V_{s})\gamma_{w}}{V} \longrightarrow\] \[\gamma_{sat} = \gamma_{d} + \gamma_{w} -\gamma_{w}\frac{V_{s}}{V} \longrightarrow \gamma_{sat} = \gamma_{d} + \gamma_{w} – \frac{\gamma_{w}}{e}\frac{V_{v}}{V} \longrightarrow \gamma_{sat} = \gamma_{d} + \gamma_{w} – \frac{\gamma_{w}}{e}\frac{V_{v}}{P_{s}}\gamma_{d} \longrightarrow\] \[\gamma_{sat} = \gamma_{d} + \gamma_{w}  – \frac{\gamma_{w}}{e}\frac{V_{v}}{P_{w}}\gamma_{d} w \longrightarrow \gamma_{sat} = \gamma_{d} + \gamma_{w} – \frac{V_{v}}{e}\frac{\gamma_{d} w}{V_{w}} \longrightarrow \gamma_{sat} = \gamma_{d} + \gamma_{w} – \frac{\gamma_{d} w}{e Sr} \longrightarrow\] \[\gamma_{sat} = 18,6 + 10 – \frac{18,6\cdot 0,172}{0,48\cdot 0,987} \longrightarrow \gamma_{sat} = 21,85\, kN/m^{3}\]

d) O peso específico dos sólidos foi calculado no item b): \[e = \frac{\gamma_{s} (1+w)}{\gamma} – 1 \longrightarrow e = \frac{\gamma_{s} (1+0,172}{21,8} \longrightarrow \gamma_{s} = 27,53\, kN/m^{3}\]

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Questão 3

36 g de uma amostra de areia, confinada num recipiente, tem 74,5% de grau de saturação e ocupa um volume de 19 cm³. Após a secagem do solo em estufa a sua massa passou para 31 g. Obter:
(a) o peso específico natural
(b) a peso específico aparente seco
(c) o peso específico saturado
(d) o índice de vazios
(e) o peso específico dos sólidos

a) Para calcular o peso específico natural, basta dividir a massa úmida pelo volume total: \[\gamma = \frac{M}{V} \longrightarrow \gamma = \frac{36}{19} \longrightarrow \gamma = 1,89\, g/cm^{3} = 18,9\, kN/m^{3}\]

b) O peso específico aparente seco é calculado dividindo a massa seca pelo volume total. \[\gamma _{d} = \frac{M_{s}}{V} \longrightarrow \gamma _{d} = \frac{31}{19} \longrightarrow \gamma _{d} = 1,63\, g/cm^{3} = 16,3\, kN/m^{3}\]

c) O peso específico saturado é calculado da seguinte forma: \[\gamma _{sat} = \frac{M_{s}+V_{v}\cdot\gamma_{w}}{V}\] Primeiro precisamos da massa de água: $$M_{w} = M – M_{s} = 36 – 31 = 5\, g$$ Sabendo que o peso específico da água é 1 g/cm³, temos o volume de água $$\gamma_{w} = \frac{M_{w}}{V_{w}} \longrightarrow 1 = \frac{5}{V_{w}} \longrightarrow V_{w} = 5\, cm^{3}$$.

Agora precisamos calcular o volume de vazios, que pode ser encontrado pelo grau de saturação: $$Sr = \frac{V_{w}}{V_{v}} \longrightarrow 0,745 = \frac{5}{V_{v}} \longrightarrow V_{v} = 6,71\, cm^{3}$$.

Finalmente, podemos encontrar o peso específico saturado. \[\gamma _{sat} = \frac{31+6,17\cdot 1}{19} \longrightarrow \gamma_{sat} = 1,98\, g/cm^{3} = 19,8\, kN/m^{3}\]

d) Para calcular o índice de vazios, já temos o volume de vazios, só precisamos do volume de sólidos: $$V_{s} = V – V_{v} = 19 – 6,71 = 12,29\, cm^{3}$$. Agora é só calcular o índice de vazios. \[e = \frac{V_{v}}{V_{s}} \longrightarrow e = \frac{6,71}{12,29} \longrightarrow e = 0,546\]

e) Para o cálculo do peso específico dos sólidos, basta dividir a massa seca pelo volume de sólidos. \[\gamma_{s} = \frac{M_{s}}{V_{s}} \longrightarrow \gamma_{s} = \frac{31}{12,29} \longrightarrow \gamma_{s} = 2,52\, g/cm^{3} = 25,2\, kN/m^{3}\]

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Questão 2

Um bloco indeformado de argila, com peso específico natural de 19,1 kN/m³ e teor de umidade de 29% apresenta um peso específico dos sólidos igual a 26,9 kN/m³. Para esse solo determinar:
(a) o peso específico aparente seco
(b) o índice de vazios
(c) a porosidade
(d) o grau de saturação

a) Com apenas três valores, podemos encontrar todos os outros índices físicos por correlação. Nesse item, vamos deduzir a correlação para o peso específico aparente seco, cuja definição é \[\gamma _{d} = \frac{M_{s}}{V}\] Partido do teor de umidade temos \[w = \frac{M_{w}}{M_{s}} \longrightarrow M_{s} = \frac{M_{w}}{w}\] Sabemos que \[M_{w} = M – M_{s} \longrightarrow M_{w} = \gamma V – M_{s}\] Substituindo na primeira equação temos \[M_{s} = \frac{\gamma V – M_{s}}{w} \longrightarrow M_{s} w = \gamma V – M_{s} \longrightarrow M_{s} w + M_{s} = \gamma V \longrightarrow M_{s} (1+w) = \gamma V\] \[\longrightarrow \frac{M_{s}}{V} = \frac{\gamma}{1+w} \longrightarrow \gamma _{d} = \frac{\gamma}{1+w}\] Chegamos a uma correlação, agora basta substituir os valores do enunciado. \[\gamma _{d} = \frac{19,1}{1+0,29} \longrightarrow \gamma _{d} = 14,8\, kN/m^{3}\]

b) Para o índice de vazios, usaremos o mesmo raciocínio anterior. Sabendo que \[e = \frac{V_{v}}{V_{s}}\] podemos desenvolver uma correlação. Vamos partir do peso específico natural. \[\gamma = \frac{M}{V} \longrightarrow \gamma = \frac{M_{w} + M_{s}}{V_{v} + V_{s}} \longrightarrow \gamma = \frac{wM_{s} + M_{s}}{V_{v} + V_{s}} \longrightarrow \gamma (V_{v} + V_{s}) = M_{s} (1+w) \longrightarrow\] \[\gamma V_{v} + \gamma V_{s} = \gamma _{s} V_{s} (1+w) \longrightarrow \gamma V_{v} = \gamma _{s} V_{s} + \gamma _{s} V_{s} w – \gamma V_{s} \longrightarrow \gamma V_{v} = V_{s} (\gamma _{s} + \gamma _{s} w – \gamma) \longrightarrow\] \[\frac{V_{v}}{V_{s}} = \frac{\gamma _{s} (1+w)}{\gamma} – 1 \longrightarrow e = \frac{\gamma _{s} (1+w)}{\gamma} – 1\] Com a correlação feita, podemos substituir os valores do enunciado. \[e = \frac{26,9 (1+0,29)}{19,1} – 1 \longrightarrow e = 0,817\]

c) A porosidade é definida como \[m = \frac{V_{v}}{V}\] Podemos encontrar uma correlação de m com os valores do enunciado. Partindo do peso específico natural, temos \[\gamma = \frac{M}{V} \longrightarrow \gamma = \frac{M_{w} + M_{s}}{V} \longrightarrow \gamma = \frac{wM_{s} + M_{s}}{V} \longrightarrow \gamma = \frac{\gamma _{s} V_{s} (1+w)}{V} \longrightarrow\] \[\gamma V = \gamma _{s} (V – V_{v}) (1+w) \longrightarrow \gamma V = (\gamma _{s} V – \gamma _{s} V_{v}) (1+w) \longrightarrow \gamma V = \gamma _{s} V (1+w) – \gamma _{s} V_{v} (1+w) \longrightarrow\] \[\gamma _{s} V_{v} + \gamma _{s} V_{v} w = \gamma _{s} V + \gamma _{s} w V – \gamma V \longrightarrow V_{v} (\gamma _{s} + \gamma _{s} w) = V (\gamma _{s} +\gamma _{s} w – \gamma) \longrightarrow \frac{V_{v}}{V} = \frac{\gamma _{s} + \gamma _{s} w – \gamma}{\gamma _{s} + \gamma _{s} w}\] \[\longrightarrow m = \frac{\gamma _{s} (1+w) – \gamma}{\gamma _{s} (1+w)} \longrightarrow m = 1 – \frac{\gamma}{\gamma _{s} (1+w)}\] Agora que encontramos a correlação, é só substituir os valores. \[m = 1 – \frac{19,1}{26,9 (1+0,29)} \longrightarrow m = 44,96\

d) O grau de saturação é definido por \[Sr = \frac{V_{w}}{V_{v}}\] Nesse caso, precisaremos do índice de vazios para fazer a correlação. Partido do próprio grau de saturação \[Sr = \frac{V_{w}}{V_{v}} \longrightarrow Sr = \frac{M_{w}}{\gamma _{w}}\frac{1}{e V_{s}} \longrightarrow \frac{w M_{s}}{\gamma _{w} e V_{s}} \longrightarrow Sr = \frac{w\gamma_{s}}{\gamma _{w} e}\] Agora basta substituir os valores \[Sr = \frac{0,29\cdot 26,9}{10\cdot 0,817} \longrightarrow Sr = 95,48\

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Questão 1

Uma amostra de solo úmido, com um volume de 598 cm³ tem uma massa de 1010 g. Depois de seca em estufa, a massa da amostra passou para 918 g. Sabendo que o peso específico dos sólidos é 26,7 kN/m³, calcular:
(a) o índice de vazios da amostra
(b) a porosidade da amostra
(c) o teor de umidade da amostra
(d) o grau de saturação da amostra
(e) o peso específico natural da amostra

a) Sabemos que o índice de vazios é \[e = \frac{V_{v}}{V_{s}}\] Precisamos então encontrar esses valores. Podemos encontrar o $$V_{s}$$ através da equação \[\gamma _{s} = \frac{M_{s}}{V_{s}} \longrightarrow 26,7\cdot 10^{3} = \frac{0,918\cdot 10}{V_{s}} \longrightarrow V_{s} = 3,43\cdot 10^{-4}\, m^{3}\] Agora podemos obter $$V_{v}$$ da seguinte forma \[V = V_{v} + V_{s} \longrightarrow 5,98\cdot 10^{-4} = V_{v} + 3,43\cdot 10^{-4} \longrightarrow V_{v} = 2,55\cdot 10^{-4}\, m^{3}\] Agora podemos encontrar o índice de vazios \[e = \frac{V_{v}}{V_{s}} \longrightarrow e = \frac{2,55\cdot 10^{-4}}{3,43\cdot 10^{-4}} \longrightarrow e = 0,743\]

b) A porosidade pode ser calculada por \[m = \frac{V_{v}}{V}\] Já temos os valores, basta substituir na equação \[m = \frac{2,55\cdot 10^{-4}}{5,98\cdot 10^{-4}} \longrightarrow m = 42,64\

c) O teor de umidade é definido como \[w = \frac{M_{w}}{M_{s}}\] Precisamos então da massa de água, que pode ser calculada pela diferença entre a massa úmida e a massa seca do solo \[M_{w} = M – M_{s} \longrightarrow M_{w} = 1010 – 918 \longrightarrow M_{w} = 92 g\] Agora, juntamente com a massa de sólidos, ou massa de solo seco, basta substituir na equação \[w = \frac{92}{918} \longrightarrow w = 10,92\

d) O grau de saturação é \[Sr = \frac{V_{w}}{V_{v}}\] Já temos o volume de vazios, precisamos encontrar o volume de água. Sabemos que o peso específico da água é $$\gamma _{w} = 1\, g/cm^{3}$$, então \[1 = \frac{92}{V_{w}} \longrightarrow V_{w} = 92\, cm^{3} = 0,92\cdot 10^{-4}\, m^{3}\] Agora podemos calcular o grau de saturação \[Sr = \frac{0,92\cdot 10^{-4}}{2,55\cdot 10^{-4}} \longrightarrow Sr = 36,08\

e) O peso específico natural é simplesmente a massa úmida dividida pelo volume total. Então \[\gamma = \frac{M}{V} \longrightarrow \gamma = \frac{1,01\cdot 10^{-2}}{598\cdot 10^{-6}} \longrightarrow \gamma = 16,89\, kN/m³\]

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