Demonstração em vídeo:

O post O número de subconjuntos é 2 elevado a n apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

O post Lógica Matemática – Conjuntos – Exercício 8 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

1. para todo $$\lambda\in L$$, tem-se $$A_{\lambda}\subset X$$;
2. se $$A_{\lambda}\subset Y$$, para todo $$\lambda\in L$$, então $$X\subset Y$$.

Prove que, nestas condições, tem-se $$X=\cup_{\lambda\in L}A_{\lambda}$$.

Solução:

O post Família de Conjuntos – Exercício 2 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Um filtro próprio, para o qual vale que ou $$A\in\mathcal{F}$$, ou $$A^{C}\in\mathcal{F}$$, para qualquer $$A\subset I$$, é chamado de ultrafiltro.

O ultrafiltro $$\mathcal{F}$$ satisfaz às seguintes propriedades:

• $$A\cup B\in\mathcal{F}\Longleftrightarrow A\in\mathcal{F}$$ ou $$B\in\mathcal{F}$$.
• $$A\in\mathcal{F}\Longleftrightarrow A^{C}\notin\mathcal{F}$$.

Demonstração:

1)

a) Se $$A\cup B\in\mathcal{F}$$ e $$A\notin\mathcal{F}$$, é certo que $$A^{C}\in\mathcal{F}$$.

O conjunto $$(A\cup B)\cap A^{C}\in\mathcal{F}$$, pelo (Teorema 1).

Ademais, $$(A\cup B)\cap A^{C} = (A\cap A^{C})\cup (B\cap A^{C})=\emptyset \cup (B\cap A^{C})=B\cap A^{C}$$.

Dado que $$B\cap A^{C}=(A\cup B)\cap A^{C}\in\mathcal{F}$$, novamente, pelo Teorema 1, tem-se que $$B\in\mathcal{F}$$.

Analogamente, demonstra-se que $$A\in\mathcal{F}$$, se for assumido que $$A\cup B\in\mathcal{F}$$ e $$B\notin\mathcal{F}$$.

b) Se $$A$$(ou$$B$$) $$\in\mathcal{F}$$, o axioma 2 de filtros garante que $$A\cup B\in\mathcal{F}$$, dado que $$A\subseteq (A\cup B)\subseteq I$$.

2)

Se $$A\in\mathcal{F}$$, não se pode ter $$A^{C}\in\mathcal{F}$$.

Com efeito, como $$\mathcal{F}$$ é um filtro próprio (i.e: não contém o vazio), o Teorema 2 garante que, se $$A,A^{C}\in\mathcal{F}$$, ter-se-ia $$\emptyset=A\cap A^{C}\in\mathcal{F}$$.

A recíproca da segunda afirmação é obtida de modo análogo, iniciado-se com $$A^{C}\in\mathcal{F}$$.

O post Lógica Matemática – Teorema 2 – Filtros apareceu primeiro em Educacional Plenus.

\[A\cap B\in\mathcal{F}\Longleftrightarrow A,B\in\mathcal{F}.\]

Demonstração

1) Válida a regra, demonstra-se que $$\mathcal{F}$$ é um filtro, isto é, que $$\mathcal{F}$$ cumpre os axiomas de filtro.

Com efeito, o axioma (i) equivale a $$A,B\in\mathcal{F}\Longrightarrow A\cap B\in\mathcal{F}$$.

Sejam $$A\in\mathcal{F}$$ e $$E\subseteq I$$ tais que $$A\subseteq E$$. Dado que $$A=A\cap E$$, é fato que $$A\cap E\in\mathcal{F}$$. Daqui, pela regra enunciada, é fato que $$B\in\mathcal{F}$$.

Comprova-se, assim, a validade do axioma (ii) de filtro.

2) Do fato de que $$\mathcal{F}$$ é um filtro, o axioma (i) equivale a $$A,B\in\mathcal{F}\Longrightarrow A\cap B\in\mathcal{F}$$.

Se $$A\cap B\in\mathcal{F}$$, é fato que que $$A\cap B\subset A\subset I$$, então,  a partir do axioma (ii), tem-se $$A\in\mathcal{F}$$. Analogamente, demonstra-se que $$E\in\mathcal{F}$$.

O post Lógica Matemática – Teorema 1 – Filtros apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Seja $$\mathcal{F}\subset\mathcal{P}(I)$$ um filtro.

Seja $$B$$ um subconjunto próprio de $$I$$. Tem-se $$B\in\mathcal{F}$$ se, e somente se, existirem $$n\in\mathbb{N}$$ e uma família $$\{A_{i}\}_{i=1}^{n}\subset\mathcal{F}$$ tais que

\[\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\subset B.\]

Demonstração:

i) Suponha válido que existem $$n\in\mathbb{N}$$ e a família $$\{A_{i}\}_{i=1}^{n}\subset\mathcal{F}$$ tais que $$\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\subset B$$.

Do primeiro axioma de filtros, o conjunto $$\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}$$ pertence ao filtro. Do segundo axioma de filtro, dado que $$\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\subset B$$, é fato que $$B\in\mathcal{F}$$.

ii) Suponha válido que $$B\in\mathcal{F}$$.

Dado que $$B\neq I$$, tomam-se $$x,y\in B^{C}$$. Daqui, edificam-se os conjuntos $$A_{1}=B\cup \{x\}$$ e $$A_{2}=B\cup \{y\}$$.

Dado que $$B\subset B\cap \{x\} = A_{1}$$ e $$B\subset B\cap \{y\} = A_{2}$$, é fato, pelo segundo axioma de filtro, que $$A_{1},A_{2}\in\mathcal{F}$$.

Ademais, $$A_{1}\cap A_{2}=B\subset B$$, donde se conclui a recíproca do teorema.⊂

O post Lógica Matemática – Lema sobre Filtros apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Divisibilidade por 9.

Para $$n\in\mathbb{N}$$, $$4^{n}+6n-1$$ é divisível por 9.

Solução:

Nota-se que, para $$n=1$$, tem-se $$4^{1}+6\cdot 1 – 1 = 9$$, que é um número divisível por nove. Agora, assumimos a hipótese de indução e provaremos para o caso $$n+1$$.

Passo indutivo: Provar que $$4^{n+1}+6(n+1)-1$$ é divisível por 9.

Observe que $$4^{n+1}+6(n+1)-1 = 4\cdot 4^{n}+6n+5$$.

É possível manipular a hipótese de indução, a fim de obter-se o resultado requerido:

\[4\cdot (4^{n}+6n-1)=9\alpha \Longrightarrow 4^{n+1}+24n-4 = 9\beta\Longrightarrow 4^{n+1}+18n+6n+5-9 = 9\beta\Longrightarrow 4^{n+1}+6n+5 =9\beta + 9 – 18n = 9\theta\].

Finalmente, basta notar que $$4^{n+1}+6n+5 = 4^{n+1}+6(n+1)-1$$, a fim de concluir que

\[4^{n+1}+6n+5 =9\theta ,\]

ou seja, esta expressão é divisível por 9.

O post Teoria dos Números – Divisibilidade (exercício 1) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Define-se $$\sigma_{A}(x)=\sigma(x)$$, para todo $$A\subset S$$, como a restrição da função sobre o conjunto $$A$$.

a) Prove que $$\sigma_{A}: A\longrightarrow U$$ corresponde a uma função.

b) Se $$\sigma$$ for uma função injetora, $$\sigma_{A}$$ é uma função injetora.

Demonstração:

a)

i) Seja $$x\in A$$, existe $$\sigma(x)\in U$$, porque $$\sigma$$ está bem definida para todo $$x\in S$$. Daqui, basta por $$\sigma_{A}(x)=\sigma(x)$$.

ii) Sejam $$a$$ e $$b\in A$$, com $$a=b$$. É fato, portanto, que $$\sigma(a)=\sigma(b)$$. Daqui, $$\sigma_{A}(a)=\sigma(a)=\sigma(b)=\sigma_{A}(b)$$.

b) Sejam $$a$$ e $$b\in A$$ tais que $$\sigma_{A}(a)=\sigma_{A}(b)$$. Consequentemente, $$\sigma_{a}=\sigma_{A}(a)=\sigma_{A}(b)=\sigma_{b}$$. Da hipótese de que $$\sigma$$ é injetora, é fato que $$a=b$$.

Obs: Nalguns casos, $$\sigma_{A}$$ é injetora, ainda que $$\sigma$$ não o seja.

O post Lógica Matemática – Conjuntos e Funções (exercício 7) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Exercício 1

Seja uma função $$f:X\longrightarrow Y$$, e sejam $$A$$ e $$B$$ subconjuntos de $$X$$. Então $$f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$$.

Solução (clique aqui)

Exercício 2

Seja uma função $$f:X\longrightarrow Y$$, e sejam $$A$$ e $$B$$ subconjuntos de $$X$$. Então $$f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)$$.

Solução (clique aqui)

Exercício 3

Sejam as funções $$f:A\longrightarrow B$$ e $$g:B\longrightarrow C$$.

a) Prove que, se $$(g\circ f)(x)$$ é injetiva, $$f$$ é injetiva.

b) Prove que, se $$(g\circ f)(x)$$ é sobrejetiva, $$g$$ é sobrejetiva.

Solução (clique aqui)

Exercício 4

Uma função $$f:X\longrightarrow Y$$ é sobrejetora, se, e somente se, para cada $$A\subset X$$, tem-se que $$Y-f(A)\subseteq f(X-A)$$.

Solução (clique aqui)

Exercício 5

Seja uma função $$f:A\longrightarrow B$$.

a) Prove que $$X\subset f^{-1}(f(X))$$, para todo $$X\subset A$$.

b) Prove que a função é injetora se, e somente se, $$f^{-1}(f(X))=X$$, para todo $$X\subset A$$.

Solução (clique aqui)

Exercício 6

Seja uma função $$f:A\longrightarrow B$$.

a) Prove que $$f(f^{-1}(Y))\subset Y$$, para todo $$Y\subset B$$.

b) Prove que $$f$$ é sobrejetora se, e somente se, $$f(f^{-1}(Y))= Y$$.

Solução (clique aqui)

O post Matemática – Lista de Exercícios de Funções apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) Prove que, se $$(g\circ f)(x)$$ é injetiva, $$f$$ é injetiva.

b) Prove que, se $$(g\circ f)(x)$$ é sobrejetiva, $$g$$ é sobrejetiva.

Demonstração:

a) Provaremos a seguinte afirmação: dados $$x,y\in A$$, se $$f(x)=f(y)$$, vale que $$x=y$$.

Com efeito, sejam $$x,y\in A$$ e $$f(x)=f(y)$$ em $$B$$. Dado que $$g$$ está bem definida, $$g(f(x)=g(f(y))$$; em outras palavras: $$(g\circ f)(x)=(g\circ f)(y)$$. Da hipótese de que a função composta é injetiva, temos que $$x=y$$.

b) Provaremos a seguinte afirmação: dado $$p\in C$$, existe $$q\in B$$ tal que $$g(q)=p$$.

De fato, pela hipótese de que a função composta é sobrejetiva, dado $$p\in C$$, existe $$x\in A$$ tal que $$(g\circ f)(x)=p$$. Isto é: $$g(f(x))=p$$. Porque $$f$$ é bem definida, basta por $$f(x)=q\in B$$, para verificar que $$g(q)=p$$.

O post Lógica Matemática – Conjuntos e Funções (exercício 6) apareceu primeiro em Educacional Plenus.