Questão
Divisibilidade por 9.
Para $$n\in\mathbb{N}$$, $$4^{n}+6n-1$$ é divisível por 9.
Solução:
Nota-se que, para $$n=1$$, tem-se $$4^{1}+6\cdot 1 – 1 = 9$$, que é um número divisível por nove. Agora, assumimos a hipótese de indução e provaremos para o caso $$n+1$$.
Passo indutivo: Provar que $$4^{n+1}+6(n+1)-1$$ é divisível por 9.
Observe que $$4^{n+1}+6(n+1)-1 = 4\cdot 4^{n}+6n+5$$.
É possível manipular a hipótese de indução, a fim de obter-se o resultado requerido:
\[4\cdot (4^{n}+6n-1)=9\alpha \Longrightarrow 4^{n+1}+24n-4 = 9\beta\Longrightarrow 4^{n+1}+18n+6n+5-9 = 9\beta\Longrightarrow 4^{n+1}+6n+5 =9\beta + 9 – 18n = 9\theta\].
Finalmente, basta notar que $$4^{n+1}+6n+5 = 4^{n+1}+6(n+1)-1$$, a fim de concluir que
\[4^{n+1}+6n+5 =9\theta ,\]
ou seja, esta expressão é divisível por 9.
