a) {(x,y) ∈ ℝ² : |x| ≥ y ≥ 2 – |x|}.
b) {(x,y) ∈ ℝ² : |x| ≤ y ≤ 2 – |x|}.
c) {(x,y) ∈ ℝ² : |x| ≥ y ≥ 2 + |x|}.
d){(x,y) ∈ ℝ² : |x| ≤ y ≤ 2 + |x|}.

Fazemos a divisão da região sombreada em duas partes. A parte inferior é definida por y ≥ |x|, tal que y esteja acima das retas y = x e y = -x. A parte superior é delimitada por y ≤ 2 – |x|, considerando as retas que passam pelos vértices superiores. Ao combinar ambas as desigualdades, obtemos o conjunto descrito por |x| ≤ y ≤ 2 – |x|. A região correta está na alternativa b. Veja a solução em vídeo:

O post Considere a região sombreada da figura a seguir apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Defina x como o número de pizzas de calabresa e y como o número de pizzas de brigadeiro. Montando o sistema: x + y = 205 45x + 40y = 8750 Multiplicamos a primeira equação por -40, obtendo -40x – 40y = -8200. Somando ao sistema, temos 5x = 550, resultando em x = 110 (calabresa). Por fim, substituímos x na primeira equação: 110 + y = 205, logo y = 95. Foram vendidas 95 pizzas de brigadeiro. Veja a solução em vídeo:

O post UNICAMP – Um grupo de alunos que pratica judô apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Se r=1, determine o comprimento do segmento AP.
a) √(2 – √2).
b) √(2 + √2).
c) √(4 – √2).
d) √(4 + √2).

Para resolver, identificamos triângulos isósceles a partir dos raios r=1 e segmentos dados, definindo os ângulos internos. O ângulo no centro O para o triângulo AOP resulta em 45º, considerando a soma dos ângulos adjacentes. Aplicando a Lei dos Cossenos, temos x² = 1² + 1² – 2(1)(1)cos(45º), onde x é o segmento AP. Substituindo cos(45º) por √2/2, obtemos x² = 2 – √2. Portanto, o comprimento de AP é igual a √2 – √2. Veja a solução em vídeo:

O post A figura a seguir, que também apareceu no Vestibular Unicamp 1987 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

A) 12.
B) 10 + √5.
C)8 + 2√5
D)6 + 3√5.
E) 4 + 4√5.

A solução utiliza a fórmula da área do triângulo por determinantes com vértices A=(0,0), B=(2,4) e C=(x,y), resultando na área A = 0,5 * |2y – 4x| = |y – 2x|. O ponto C pertence à circunferência (x-4)² + y² = 4. Para maximizar a área, deriva-se a expressão e obtém-se x – 4 = -2y. Substituindo essa condição na equação da circunferência, obtém-se y² = 4/5, logo y = ± 2/√5. Ao aplicar esses valores na fórmula da área, o cálculo resulta no valor máximo de 8 + 2√5, correspondente à alternativa C . Assista ao vídeo abaixo.

O post Seja ABC um triângulo no plano cartesiano com vértices apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) 0
b) √2 .
c) √3 .
d) 1.

Solução:

Dividindo 2014 por 4, obtemos um quociente igual 503 e um resto igual a 2; $$2014 = 503\cdot 4 + 2$$.
Dividindo 1987 por 4, obtemos um quociente igual a 496 e um resto igual 3; $$1987 = 496\cdot 4 + 3$$.
Assim, $$i^{2014}=i^{503\cdot 4 + 2}=(i^{4})^{503}\cdot i^{2}$$ e $$i^{1987}=i^{496\cdot 4 + 3}=(i^{4})^{496}\cdot i^{3}$$. $$z=(i^{4})^{503}\cdot i^{2}-(i^{4})^{496}\cdot i^{3}=i^{2}-i^{3}=-1+i$$
O módulo deste complexo é:

\[|z|^{2}=1^{2}+1^{2}\longrightarrow |z|=\sqrt{2}\].

Resposta: b)

Assista à solução em vídeo:

O post (UNICAMP) O módulo do número complexo apareceu primeiro em Educacional Plenus.

A) 1980ª posição
B) 2035ª posição
C) 1500ª posição
D) 2026ª posição
E) 1000ª posição”

Para encontrar a 1000ª ocorrência de 0, iguala-se a soma de zeros até a linha M: M×(M+1)∕2 = 1000. Resolvendo M²+M-2000=0 via Bhaskara, encontra-se M≈44,5, logo a linha é 45. Até a linha 44, somam-se 990 zeros. Na linha 45, o número 1 está na posição 1981. Somando os 45 termos da linha e os 9 zeros restantes, o 1000º zero está na posição 2035. Assista à solução no vídeo a seguir:

O post VUNESP – Considere o padrão de formação da sequência ilimitada apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Há uma ambiguidade no enunciado. Se considerarmos pelo menos quatro algarismos iguais a 8, ao calcularmos os casos com 4, 5 e 6 oitos, obtemos 1009 combinações. No cenário em que há exatamente quatro dígitos iguais a 8, o cálculo é: (6! / 4!) * (8 * 7 / 2!) = 30 * 28 = 840 (para dois algarismos distintos de 8) somado a (6! / 4!) * 8 / 2! = 30 * 4 = 120 (para dois algarismos repetidos diferentes de 8), totalizando 960 (alternativa D). Vale notar que a UERJ anulou a questão pela ambiguidade na interpretação do termo ‘quatro algarismos iguais a 8’.

Solução em vídeo:

O post Questão anulada na UERJ – Considere o conjunto A, que contém apareceu primeiro em Educacional Plenus.

A soma inicial dos 13 números é 13 × 10 = 130. Após adicionar dois números, a soma dos 15 elementos é 15 × 12 = 180. A soma dos dois números acrescidos é calculada por 180 − 130 = 50. Assim, a soma dos dois valores adicionais é exatamente 50. Esta resposta corresponde à alternativa A do problema.

Solução em vídeo:

O post Considere um conjunto de treze números naturais (UERJ) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

A sᴏʟᴜçãᴏ ᴘᴀʀᴀ ᴏ sᴇxᴛᴏ ᴛᴇʀᴍᴏ (ᴀ₆) ᴅᴀ sᴇϙᴜêɴᴄɪᴀ, ᴅᴀᴅᴀ ᴘᴏʀ ᴀₙ = ᴀₙ₋₁ + ɴ ᴇ ᴀ₁ = 1, é ᴏʙᴛɪᴅᴀ ᴘᴇʟᴀ sᴏᴍᴀ ᴛᴇʟᴇsᴄóᴘɪᴄᴀ ᴅᴏs ᴛᴇʀᴍᴏs. • ᴀ₂ – ᴀ₁ = 2 • ᴀ₃ – ᴀ₂ = 3 • ᴀ₄ – ᴀ₃ = 4 • ᴀ₅ – ᴀ₄ = 5 • ᴀ₆ – ᴀ₅ = 6. Ao sᴏᴍᴀʀ ᴇssᴀs ᴇϙᴜᴀçõᴇs, ᴏs ᴛᴇʀᴍᴏs ɪɴᴛᴇʀᴍᴇᴅɪáʀɪᴏs sᴇ ᴄᴀɴᴄᴇʟᴀᴍ, ʀᴇsᴜʟᴛᴀɴᴅᴏ ᴇᴍ ᴀ₆ – ᴀ₁ = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20. ᴘᴏʀᴛᴀɴᴛᴏ, ᴀ₆ = 20 + 1 = 21.

Solução em vídeo:

O post Considere as seguintes informações para a sequência (UERJ) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

• C(x) = 400 + 3x, 0 ≤ x ≤ 1000
• V(x) = 6x, 0 ≤ x ≤ 1000

Para alcançar o lucro mínimo igual ao custo fixo inicial mais R$ 100,00, deve ser fabricada a seguinte
quantidade de embalagens:
(A) 200
(B) 250
(C) 300
(D) 350

Para resolver a questão, define-se a função lucro subtraindo o custo (400 + 3x) da receita (6x), resultando em L(x) = 3x – 400. Igualando o lucro ao custo fixo inicial mais 100 reais (400 + 100), temos a equação 3x – 400 = 500. Resolvendo essa expressão, descobre-se que a indústria precisa fabricar 300 unidades para atingir o objetivo proposto.

O post UERJ – Para a fabricação de até 1000 embalagens apareceu primeiro em Educacional Plenus.