Complexos – Forma Trigonométrica – Exercício 1

O valor da potência (1 – i)¹⁰ é:
a) 11i.
b) 5i.
c) –32i.
d) –50i.
e) 1 – 5i.

Solução:
Dado que $$z=1-i$$, temos $$a=1$$ e $$b=-1$$, na forma algébrica de um complexo (z=a+bi).
O módulo é $$|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$.

O argumento do número complexo é dado pelas funções trigonométricas $$cos(\alpha )=\frac{1}{\sqrt{2}}$$ e $$sen(\alpha )=\frac{-1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$. Isso implica que $$\alpha =-\pi /4rad$$.

Então a potência é dada por

$$z^{10}=(\sqrt{2}{)}^{10}\cdot (cos[-\frac{\pi }{4}\cdot 10]+i\cdot sen[-\frac{\pi }{4}\cdot 10]).$$

Observe que $$\frac{-\pi }{4}\cdot 10=\frac{-5\pi }{2}$$ e que este último está no mesmo lugar de $$\frac{-\pi }{2}$$, no círculo trigonométrico, portanto $$cos[\frac{-\pi }{4}\cdot 10]=0$$ e $$sen[-\frac{\pi }{4}\cdot 10]=-1$$.

Daqui, $$z^{10}={\sqrt{2}}^{10}\cdot (-i)=-32i$$.