Complexos – Forma Trigonométrica – Exercício 1

O valor da potência (1 – i)¹⁰ é:
a) 11i.
b) 5i.
c) –32i.
d) –50i.
e) 1 – 5i.

Solução:
Dado que $$z=1-i$$, temos $$a=1$$ e $$b=-1$$, na forma algébrica de um complexo (z=a+bi).
O módulo é $$|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$.

O argumento do número complexo é dado pelas funções trigonométricas $$cos(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{2}}$$ e $$sen(\alpha) = \frac{-1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$. Isso implica que $$\alpha = -\pi/4 \; rad$$.

Então a potência é dada por

\[z^{10}=(\sqrt{2})^{10}\cdot (cos[-\frac{\pi}{4}\cdot 10] + i\cdot sen[-\frac{\pi}{4}\cdot 10]).\]

Observe que $$\frac{-\pi}{4}\cdot 10 = \frac{-5\pi}{2}$$ e que este último está no mesmo lugar de $$\frac{-\pi}{2}$$, no círculo trigonométrico, portanto $$cos[\frac{-\pi}{4}\cdot 10]=0$$ e $$sen[-\frac{\pi}{4}\cdot 10] = -1$$.

Daqui, $$z^{10}=\sqrt{2}^{10}\cdot (-i) = -32i$$.