A densidade populacional de cada distrito da cidade de South Hill, denotada por D (em número de
habitantes por km²) está relacionada à distância x, em quilômetros, do distrito ao centro da cidade. A fórmula que relaciona D e x é dada por D(x) = 5 + 30x – 15x².
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a) Um distrito, localizado no centro da cidade de São Paulo, tem densidade populacional de 16,5 hab/km². Comparando a densidade populacional do distrito que fica no centro da cidade de South Hill com a do
distrito do centro da cidade de São Paulo, a segunda supera a primeira em y%. Calcule y.
b) Determine a que distância do centro da cidade de South Hill a densidade populacional é máxima. Qual
é o valor dessa densidade máxima?
Solução:
a) Como o distrito de South Hill localiza-se no centro da referida cidade, a densidade populacional é
\[D(0) = 5+30\cdot 0- 15\cdot 0^{2} = 5.\]
A densidade do distrito paulistano é de 16,5. Então o percentual de aumento do primeiro em relação ao segundo é dado pela fórmula do acréscimo percentual: $$5(1+y) = 16,5$$, logo $$y = 2,3 = 230%$$.
b) Precisamos calcular o “x” do vértice da função do segundo grau.
\[x_{v}=\frac{-b}{2a}=\frac{-30}{2\cdot (-15)}=1.\]
Para calcular a densidade populacional, substituímos o valor encontrado em D:
\[D(1) = 5+30 – 15 = 20.\]
Então a distância é de 1 Km e a densidade é de 20 hab/km².
