(UNIMEP-SP) A soma das raízes da equação $$x=\frac{3}{4-\frac{3}{4-x}}$$ é
a) 0
b) 1
c) 4
d) 5
e) 6
Solução:
Precisamos ajustar a expressão para uma equação do 2º grau.
“Passaremos” o denominador multiplicando $$x$$, de modo a obtermos
\[x(4-\frac{3}{4-x})=3.\]
Daqui, obtemos $$4x – \frac{3x}{4-x}=3$$, e, finalmente, temos
\[4x(4-x)-3x = 3(4-x))\Longrightarrow\]
\[16x-4x^{2}-3x = 12 – 3x\Longrightarrow\]
\[-4x^{2}+16x-12 =0\Longrightarrow\]
\[x^{2}-4x+3=0.\]
Calculando por Bhaskara, temos
\[x = \frac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}=\frac{4\pm 2}{2}.\]
As raízes são 3 e 1.
Observe que a equação original tem dois denominadores com $$x$$.
Do primeiro, $$\frac{3}{4-x}$$, precisamos de $$x\neq 4$$.
Do segundo, $$4-\frac{3}{4-x}$$, precisamos de $$x\neq 13/4$$.
Como nenhuma raiz corresponde a esses valores, a soma das raízes será $$3+1 = 4$$.
