Fatoração de Expressões Algébricas – Exercício 2

O valor da expressão $$\frac{x^{3}-x}{x^{3}+3x^{2}+2x}$$, para x = 998, é

a) 0,998
b) 0,997
c) 0,996
d) 0,995
e) 0,994

Solução:
1) O primeiro passo é colocar o fator comum em evidência no numerador e no denominador. Note que o fator é igual a x. Assim ,teremos:

• x³-x = x(x²-1), e
• x³=3x²+2x = x(x²+3x+2).

Podemos, então, simplificar a fração deste modo:

\[\frac{x^{3}-x}{x^{3}+3x^{2}+2x} = \frac{x\cdot (x^{2}-1)}{x(x^{2}+3x+2)}=\]

\[ \frac{x^{2}-1}{x^{2}+3x+2}.\]

2) Agora, observe que o numerador é uma diferença de dois quadrados: x²-1 = x²-1² = (x+1)(x-1).

Por outro lado, o denominador não corresponde a um Trinômio Quadrado Perfeito, mas podemos somar e subtrair alguns elementos a fim de transformá-lo em algo que possa ser fatorado. Observe que, se somarmos e subtrairmos o mesmo número a uma expressão, ela permanece a mesma. De fato,

\[x^{2}+3x+2 = x^{2}+3x+2+2-2 = x^{2}+3x+4-2 (*).\]

Novamente, aplicamos a mesma técnica na expressão $$(*)$$:

\[x^{2}+3x+4-2 = x^{2}+3x+4 – 2 + x – x =\]

\[(x^{2}+4x+4)-(x+2). (**)\]

Como x²+4x+4 = (x+2)², observamos que a expressão $$(**)$$ é um trinômio menos um monômio com o mesmo fator comum, que pode ser colocado em evidência, Daqui, temos

\[(**) = (x+2)^{2}-(x+2) = (x+2)[(x+2)-1] = (x+2)(x+1).\]

3) Enfim, podemos fatorar nossa expressão inicial:

\[\frac{(x+1)(x-1)}{(x+2)(x+1)}=\frac{x-1}{x+2}.\]

Com x = 998, temos a fração igual a $$\frac{998-1}{998+2}=\frac{997}{1000} = 0,997$$.