João trocou os móveis de seu quarto e, junto ao novo guarda-roupa, há também uma sapateira. João possui 7 pares de sapato do tipo social, 3 pares de tênis esportivos e 3 pares de chinelos. Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta a quantidade de disposições possíveis para os calçados, desde que os calçados de mesmo tipo fiquem juntos, lado a lado.
(A) 181.440.
(B) 209.350.
(C) 709.890.
(D) 920.870.
(E) 1.088.640.
Solução:
Em primeiro lugar, assumimos que os pares ficarão lado a lado e que serão contados como um único objeto. Neste caso, estamos interessados em organizar os pares. Como os pares de tipos iguais ficarão lado a lado, teremos três grandes blocos.
Observe que, no bloco dos calçados sociais, podemos organizar os pares de 7! maneiras, pois, para a primeira escolha, há 7 pares, para a segunda, 6, para a terceira, 5, até chegarmos ao último local disponível, com apenas uma escolha. O total é dado por $$7\cdot 6\cdot …\cdot 2\cdot 1 = 7!$$.
Repetindo-se o mesmo raciocínio, nos blocos dos dos chinelos e dos tênis, podemos organizar de 3! maneiras cada um deles. Além disso, os três grandes blocos podem ser permutados de 3! maneiras.
Ao todo, temos $$7!\cdot (3!)^{3}= 1.088.640$$ formas de organizar os pares de sapatos.
Resposta: e)
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