Matrizes – Exercício 1

Dadas as matrizes $$A=\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& a\end{array}\right]$$ e $$B=\left[\begin{array}{cc}1& b\\ b& 1\end{array}\right]$$, determine $$a$$ e $$b$$ de modo que $$AB=I$$, em que $$I$$ é a matriz identidade.

Solução:

A multiplicação $$C=AB$$ é uma matriz de ordem 2 X 2, cujos elementos são listados a seguir:

• $$c_{11}=a_{11}{b}_{11}+a_{12}{b}_{21}=a\cdot 1+b\cdot 0=a$$;
• $$c_{12}=a_{11}{b}_{21}+a_{12}{b}_{22}=ab+0\cdot 1=ab$$;
• $$c_{21}=a_{21}{b}_{11}+a_{22}{b}_{12}=0\cdot 1+ab=ab$$; e
• $$c_{22}=a_{21}{b}_{12}+a_{22}{b}_{22}=0\cdot b+a\cdot 1=a$$

A fim de que $$C=I$$, temos

$$\left[\begin{array}{cc}a& ab\\ ab& a\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],$$

e isso implica que $$a=1$$ e $$ab=0$$, daqui temos $$b=0$$.