Matrizes – Exercício 1

Dadas as matrizes $$A=\left[\begin{array}{cc} a&0\\0&a \end{array}\right]$$ e $$B=\left[\begin{array}{cc} 1&b\\b&1 \end{array}\right]$$, determine $$a$$ e $$b$$ de modo que $$AB=I$$, em que $$I$$ é a matriz identidade.

Solução:

A multiplicação $$C=AB$$ é uma matriz de ordem 2 X 2, cujos elementos são listados a seguir:

• $$c_{11}=a_{1\;1}b_{1\;1}+a_{1\;2}b_{2\;1}= a\cdot 1 + b\cdot 0 = a$$;
• $$c_{12}=a_{1\;1}b_{2\; 1}+a_{1\; 2}b_{2\; 2} =ab+0\cdot 1 = ab $$;
• $$c_{2\; 1}=a_{2\; 1}b_{1\; 1}+a_{2\;2}b_{1\; 2}=0\cdot 1 + ab = ab$$; e
• $$c_{2\; 2}=a_{2\; 1}b_{1\; 2}+a_{2\;2}b_{2\; 2}=0\cdot b + a\cdot 1 = a$$

A fim de que $$C=I$$, temos

\[\left[\begin{array}{cc} a&ab\\ab&a \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1&0\\0&1 \end{array}\right],\]

e isso implica que $$a=1$$ e $$ab = 0$$, daqui temos $$b=0$$.