Sequências e Progressões
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Progressão Aritmética – Exercício 11

(FUVEST) Em uma progressão aritmética (PA) de termos positivos, os três primeiros termos são 1-a;-a; √(11-a). O quarto termo dessa PA é:

a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6

Solução:

Lembre-se de que, numa PA, a diferença entre um termo e seu antecessor é sempre constante. Observamos, portanto, que

\[-a-(1-a)=\sqrt{11-a}-(-a).\]

A equação se transforma em $$\sqrt{11-a}=-a-1$$. Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos $$11-a = ((-1)(a+1))^{2}$$, logo $$11-a = a^{2}+2a+1$$.

Obtemos a equação do segundo grau $$a^{2}+3a-10=0$$, cujas raízes são $$a=2$$ ou $$a=-5$$. Dado que a nossa progressão aritmética possui apenas termos positivos, escolhemos $$a=-5$$, pois a variável $$\mathbf{a}$$ sempre aparece com o sinal negativo na sequência.

Além disso, conseguimos calcular a razão, pois $$r=(-a)-(1-a) = -1$$.
Finalmente, o quarto termo da PA será $$\sqrt{11-(-5)} – 1 = \sqrt{16}-1 = 3$$.

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