Sequências e Progressões
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Progressão Aritmética – Exercício 12

Determine a soma das frações irredutíveis, positivas e menores do que 10, de denominador 4.



Solução:

A fim de que sejam frações irredutíveis, o numerador precisa ser ímpar, portanto as frações são $$\frac{1}{4},\frac{3}{4}\frac{5}{4}, \frac{7}{4},\frac{9}{4},…,\frac{39}{4}$$. Não teremos $$41/4$$, que é superior a 10.

Observamos que os numeradores formam uma progressão aritmética de termo inicial 1 e razão 2, então o termo geral dos numeradores é $$a_{n}=1+(n-1)2 = 2n -1$$. Note também que $$39 = a_{n} = 2n -1$$, então $$n =20$$. Isto é: 39 corresponde ao 20º termo dessa sequência.

Observe que a soma das frações será

\[P=\frac{1}{4}+…+\frac{39}{4}=\frac{1}{4}(1+3+…+39)=\frac{1}{4}S_{20},\]

em que $$S_{n}$$ é a fórmula da soma dos 19 primeiros termos da nossa progressão aritmética. Calculando, temos $$S_{20}=\frac{20}{2}\cdot (1+39) = 400$$.

Portanto, $$P=\frac{400}{4}=100$$.

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