Progressão Geométrica – Exercício 19

(UEL) A sequência (2x + 5, x+1, x/2,…), com x ∈ |R, é uma progressão geométrica de termos positivos. O décimo terceiro termo dessa sequência é:

a) 2.
b) $$3^{-10}$$.
c) 3.
d) $$3^{10}$$.
e) $$3^{12}$$.

Solução:

Podemos calcular a razão, sabendo que ela é igual a qualquer termo dividido por seu antecessor. Neste caso, temos

\[q=\frac{x+1}{2x+5}=\frac{x/2}{x+1}\Longrightarrow\]

\[(x+1)^{2}=(2x+5)\frac{x}{2}\Longrightarrow\]

\[x^{2}+2x+1=\frac{2x^{2}+5x}{2}\Longrightarrow\]

\[4x+2=5x\Longrightarrow x = 2.\]

Agora, temos a razão $$q=\frac{2+1}{2(2)+5}=1/3$$, e o primeiro termo é igual $$2(2)+5 = 9$$. Podemos escrever o termo geral dessa progressão geométrica:

\[g_{n}=9\cdot (1/3)^{n-1}=3^{2}\cdot 3^{1-n}=3^{3-n}.\]

Daqui, calculamos o décimo terceiro termo da sequência: $$g_{13}=3^{3-13}=3^{-10}$$.