Progressão Geométrica – Exercício 27

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A soma dos termos de ordem impar de uma PG infinita é 8/3, e a soma dos termos de ordem par é 4/3. Calcule o 1º termo dessa PG.

Solução:
A soma de toda a PG infinita será 4=83+43=a11q().

Se tomarmos apenas a progressão geométrica de termos com índice par, teremos a soma a2+a2q2+a2q4+. Observe que a razão dessa progressão é q² e seu termo inicial é a2=a1q.

Pela fórmula da soma infinita de uma PG, temos a1q1q2=43().

A equação () fornece a1=4(1q). Substituindo essa igualdade na equação (), obtemos

4(1q)q1q2=43

3(1q)q=1q2

2q23q+1=0.

Usando Bhaskara, teremos as soluções q=3±984=3±14.

A única solução possível será q=1/2, uma vez que a progressão com soma infinita deve ter a razão positiva e inferior a 1.

Retornando à equação (), obtemos a1=4(112)=2.

 


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