Em uma progressão geométrica infinitamente decrescente, cuja soma é igual a 9 e a soma dos quadrados de todos os seus termos é 40,5, o seu 4º termo vale:
a) 3/8
b) 1/27
c) 5/32
d) 2/9
e) 4/27
Solução:
i) Usando a fórmula da soma de uma PG infinita, escrevemos que $$\frac{a_{1}}{1-q}=9$$. Podemos isolar o primeiro termo da PG deste modo: $$a_{1}=9(1-q)$$.
Note, agora, que a sequência dos quadrados da PG também é uma PG: $$a^{2}_{1}, a_{1}^{2}q^{2},…$$, cuja razão é q². Usando novamente a fórmula da soma, obtemos $$\frac{a^{2}_{1}}{1-q^{2}}=40,5$$.
Substituindo a primeira equação na segunda, obtemos
\[81\cdot (1-q)^{2}=40,5\cdot (1-q^{2})\Longrightarrow\]
\[3q^{2}-4q+1=0.\]
ii) Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos $$q=\frac{4\pm 2}{6}$$. Apenas a solução $$q=1/3$$ nos interessa, dado se tratar de uma progressão geométrica decrescente.
Retornando à primeira equação, obtemos $$a_{1}=9(1-1/3) = 6$$.
iii) O quarto termo será, pelo termo geral, $$a_{4}=a_{1}q^{3} = 6\cdot(\frac{1}{3})^{3}=\frac{2}{9}$$.
