A soma dos termos de ordem impar de uma PG infinita é 8/3, e a soma dos termos de ordem par é 4/3. Calcule o 1º termo dessa PG.
Solução:
A soma de toda a PG infinita será $$4=\frac{8}{3}+\frac{4}{3} = \frac{a_{1}}{1-q}(*)$$.
Se tomarmos apenas a progressão geométrica de termos com índice par, teremos a soma $$a_{2}+a_{2}q^{2}+a_{2}q^{4}+…$$. Observe que a razão dessa progressão é q² e seu termo inicial é $$a_{2}=a_{1}q$$.
Pela fórmula da soma infinita de uma PG, temos $$\frac{a_{1}q}{1-q^{2}}=\frac{4}{3}(**)$$.
A equação $$(*)$$ fornece $$a_{1}=4(1-q)$$. Substituindo essa igualdade na equação $$(**)$$, obtemos
\[\frac{4(1-q)q}{1-q^{2}}=\frac{4}{3}\Longrightarrow\]
\[3(1-q)q=1-q^{2}\Longrightarrow\]
\[2q^{2}-3q+1=0.\]
Usando Bhaskara, teremos as soluções $$q=\frac{3\pm\sqrt{9 – 8}}{4}=\frac{3\pm 1}{4}$$.
A única solução possível será $$q=1/2$$, uma vez que a progressão com soma infinita deve ter a razão positiva e inferior a 1.
Retornando à equação $$(*)$$, obtemos $$a_{1}=4\cdot (1-\frac{1}{2}) = 2$$.
