Progressão Geométrica – Exercício 29

Quantas soluções a equação sen²(x) + sen4(x)/2 + sen6(x)/4+… = 2,  cujo lado esquerdo consiste da soma infinita dos termos de uma progressão geométrica de primeiro termo sen²(x) e razão sen²(x)/2, admite, no intervalo [0, 20π]?



Solução:

i) Usando a fórmula da soma infinita da PG, obtemos $$\frac{sen^{2}(x)}{1-\frac{sen^{2}(x)}{2}}=2$$. Arrumando a equação, teremos $$\frac{2sen^{2}(x)}{2-sen^{2}(x)}=2$$.

Multiplicando em “cruz” e dividindo ambos os lados por 2, obtemos $$sen^{2}(x)=1$$, que resulta em $$sen(x)=\pm 1$$.

ii) Os arcos da primeira volta que satisfazem a equação trigonométrica são $$x=\frac{\pi}{2}$$ ou $$x=\frac{3\pi}{2}$$. No caso de todas as voltas possíveis, temos $$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$$, para $$k=0,1,2,…$$.

Como o valor máximo é 20π, observamos que $$\pi/2 + k\pi = 20\pi$$ implica $$k=20-1/2 = 19,5$$.
Como $$k$$ é um número natural, o maior valor possível para ele é $$k=19$$. Além dessas 19 soluções, temos a inicial (k=0), totalizando  20 soluções.

Tags: Equação Trigonométrica, Soma Infinita

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