Representação de Grupos – Exercício 1

Seja ρ uma representação de grau 1 de G. Prove que G/Ker(ρ) é abeliano.

Suppose that ρ is a representation of G of degree 1. Prove that G\Ker(ρ) is abelian.

Solução:

Dados $$g,h\in G$$, $$\rho(ghg^{-1}h^{-1})=\rho(g)\rho(h)\phi(g^{-1})\rho(h^{-1}) (*)$$.

Como ρ é representação de grau 1, $$\rho(x)\in\mathbb{F} $$(corpo), então

\[(*)=\rho(g)\rho(g^{-1})\rho(h)\rho(h^{-1})=\]

\[\rho(gg^{-1})\rho(h^{1}h)=1\cdot 1 = 1.\]

Conclui-se que $$ghg^{-1}h^{-1}\in ker(\rho)$$, portanto

\[ghg^{-1}h^{-1} Ker(\rho) = Ker(\rho) \Longrightarrow (gh)Ker(\rho)= (hg)Ker(\rho).\]